Nos Exercícios 19-22, use a regra do produto apropriada para calcular a derivada, sendo
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle 8 t, 4,-t^{3}\right\rangle, \quad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle 0, e^{t},-6\right\rangle
\frac{d}{d t}\left(t^{4} \mathbf{r}_{1}(t)\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a função vetorial
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle 8 t,\,4,\,-t^{3}\right\rangle.
  • Também aparece a função escalar multiplicativa t^{4}.
  • O que se pede é a derivada temporal
\frac{d}{dt}\!\left(t^{4}\mathbf{r}_{1}(t)\right).
Informações relevantes: todos os componentes de \mathbf{r}_{1}(t) são funções de t; t^{4} é uma função escalar de t. (A outra função \mathbf{r}_{2}(t) fornecida no enunciado não é necessária para este cálculo.)

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada devagarinho):
  • Se u(t) é uma função escalar e \mathbf{v}(t) é uma função vetorial, a regra do produto para derivada é
\frac{d}{dt}\big(u(t)\,\mathbf{v}(t)\big)=u'(t)\,\mathbf{v}(t)+u(t)\,\mathbf{v}'(t).
Explicando cada termo:
  • u'(t) é a derivada escalar de u em relação a t.
  • \mathbf{v}'(t) é a derivada vetorial: obtém-se derivando componente a componente.
  • O produto u'(t)\,\mathbf{v}(t) é a multiplicação escalar de u'(t) por cada componente de \mathbf{v}(t).
Aqui temos u(t)=t^{4} e \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}_{1}(t).

Passo 3

Derivar a parte escalar u(t)=t^{4}:
  • A regra de potência diz que se u(t)=t^{n} então u'(t)=n t^{n-1}.
    Logo
u'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{4}\big)=4t^{3}.

Passo 4

Derivar \mathbf{r}_{1}(t) componente a componente:
  • Primeira componente: \frac{d}{dt}(8t)=8.
  • Segunda componente: \frac{d}{dt}(4)=0 (constante).
  • Terceira componente: \frac{d}{dt}(-t^{3})=-3t^{2}.
    Portanto
\mathbf{r}_{1}'(t)=\left\langle 8,\,0,\,-3t^{2}\right\rangle.

Passo 5

Aplicar a regra do produto usando os resultados:
\frac{d}{dt}\big(t^{4}\mathbf{r}_{1}(t)\big)=u'(t)\,\mathbf{r}_{1}(t)+u(t)\,\mathbf{r}_{1}'(t) =4t^{3}\,\mathbf{r}_{1}(t)+t^{4}\,\mathbf{r}_{1}'(t).

Passo 6

Substituir \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{1}'(t) e multiplicar escalarmente componente a componente:
  • Primeiro termo:
4t^{3}\,\mathbf{r}_{1}(t)=4t^{3}\left\langle 8t,\,4,\,-t^{3}\right\rangle=\left\langle 32t^{4},\,16t^{3},\,-4t^{6}\right\rangle.
  • Segundo termo:
t^{4}\,\mathbf{r}_{1}'(t)=t^{4}\left\langle 8,\,0,\,-3t^{2}\right\rangle=\left\langle 8t^{4},\,0,\,-3t^{6}\right\rangle.

Passo 7

Somar os dois vetores termo a termo e simplificar:
\left\langle 32t^{4},\,16t^{3},\,-4t^{6}\right\rangle+\left\langle 8t^{4},\,0,\,-3t^{6}\right\rangle =\left\langle 40t^{4},\,16t^{3},\,-7t^{6}\right\rangle.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\big(t^{4}\mathbf{r}_{1}(t)\big)=\left\langle 40t^{4},\,16t^{3},\,-7t^{6}\right\rangle

Exercícios relacionados