Nos Exercícios 19-22, use a regra do produto apropriada para calcular a derivada, sendo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a função vetorial
- Também aparece a função escalar multiplicativa
. - O que se pede é a derivada temporal
Informações relevantes: todos os componentes de
são funções de
;
é uma função escalar de
. (A outra função
fornecida no enunciado não é necessária para este cálculo.)
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada devagarinho):
- Se
é uma função escalar e é uma função vetorial, a regra do produto para derivada é
Explicando cada termo:
-
é a derivada escalar de em relação a . -
é a derivada vetorial: obtém-se derivando componente a componente. - O produto
é a multiplicação escalar de por cada componente de .
Aqui temos
e
.
Passo 3
Derivar a parte escalar
:
- A regra de potência diz que se
então .
Logo
Passo 4
Derivar
componente a componente:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
(constante). - Terceira componente:
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do produto usando os resultados:
Passo 6
Substituir
e
e multiplicar escalarmente componente a componente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 7
Somar os dois vetores termo a termo e simplificar: