Nos Exercícios 23-25, sejam
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2}, t^{3}, 4 t\right\rangle, \quad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1}, 1+t, 2\right\rangle
Seja F(t)=\mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t).
(a) Calcule F^{\prime}(t), usando a regra do produto.
(b) Expanda o produto \mathbf{r}_{1}(t) \cdot \mathbf{r}_{2}(t) e derive. Compare como obtido na parte (a).

Passo 1

O enunciado dá as duas funções vetoriais
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2},\, t^{3},\, 4 t\right\rangle,\qquad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1},\, 1+t,\, 2\right\rangle
e define F(t)=\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t).
As perguntas são:
(a) Calcular F'(t) usando a regra do produto para produto escalar.
(b) Expandir o produto escalar \mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t), derivar o resultado e comparar com (a).

Passo 2

Regra que vamos usar (produto escalar): para funções vetoriais \mathbf{u}(t) e \mathbf{v}(t) vale
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\big)=\mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'.
Primeiro calculo as derivadas componente a componente (usando a regra da potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}, e que a derivada de constante é 0):
\mathbf{r}_{1}'(t)=\left\langle \dfrac{d}{dt}t^{2},\,\dfrac{d}{dt}t^{3},\,\dfrac{d}{dt}(4t)\right\rangle =\left\langle 2t,\,3t^{2},\,4\right\rangle,
\mathbf{r}_{2}'(t)=\left\langle \dfrac{d}{dt}t^{-1},\,\dfrac{d}{dt}(1+t),\,\dfrac{d}{dt}2\right\rangle =\left\langle -t^{-2},\,1,\,0\right\rangle,
pois \dfrac{d}{dt}t^{-1}=-1\cdot t^{-2}.

Passo 3

Agora calculo o primeiro termo da regra do produto: \mathbf{r}_{1}'(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t).
Multiplico componente a componente e somo:
\mathbf{r}_{1}'(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) =(2t)\cdot t^{-1}+(3t^{2})\cdot(1+t)+4\cdot 2.
Faço cada produto:
(2t)\cdot t^{-1}=2t^{1-1}=2,
(3t^{2})(1+t)=3t^{2}+3t^{3},
4\cdot 2=8.
Somando:
\mathbf{r}_{1}'(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t)=2+3t^{2}+3t^{3}+8=3t^{3}+3t^{2}+10.

Passo 4

Agora o segundo termo: \mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}'(t).
\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}'(t) =(t^{2})\cdot(-t^{-2})+(t^{3})\cdot 1+(4t)\cdot 0.
Calculo cada produto:
t^{2}\cdot(-t^{-2})=-1,
t^{3}\cdot 1=t^{3},
(4t)\cdot 0=0.
Somando:
\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}'(t)=t^{3}-1.

Passo 5

Pelo produto escalar, F'(t)=\mathbf{r}_{1}'\cdot\mathbf{r}_{2}+\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{r}_{2}'. Logo:
F'(t)=(3t^{3}+3t^{2}+10)+(t^{3}-1)=4t^{3}+3t^{2}+9.
Isto responde a parte (a).

Passo 6

Parte (b): expandir primeiro F(t)=\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t):
F(t)=t^{2}\cdot t^{-1}+t^{3}\cdot(1+t)+(4t)\cdot 2.
Calculo termo a termo:
t^{2}\cdot t^{-1}=t^{1}=t,
t^{3}(1+t)=t^{3}+t^{4},
(4t)\cdot 2=8t.
Somando:
F(t)=t^{4}+t^{3}+t+8t=t^{4}+t^{3}+9t.
Agora derivo termo a termo (regra da potência):
F'(t)=4t^{3}+3t^{2}+9.
Comparação: é exatamente o mesmo resultado obtido em (a), portanto as duas maneiras coincidem.

Resposta

(a) F'(t)=4t^{3}+3t^{2}+9
(b) Ao expandir F(t)=t^{4}+t^{3}+9t e derivar obtém-se F'(t)=4t^{3}+3t^{2}+9, que coincide com (a).

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