Nos Exercícios 23-25, sejam
Seja
.
(a) Calcule
, usando a regra do produto.
(b) Expanda o produto
e derive. Compare como obtido na parte (a).
(a) Calcule
(b) Expanda o produto
Passo 1
O enunciado dá as duas funções vetoriais
e define
.
As perguntas são:
(a) Calcular usando a regra do produto para produto escalar.
(b) Expandir o produto escalar , derivar o resultado e comparar com (a).
(a) Calcular
(b) Expandir o produto escalar
Passo 2
Regra que vamos usar (produto escalar): para funções vetoriais
e
vale
Primeiro calculo as derivadas componente a componente (usando a regra da potência:
, e que a derivada de constante é
):
pois
.
Passo 3
Agora calculo o primeiro termo da regra do produto:
.
Multiplico componente a componente e somo:
Multiplico componente a componente e somo:
Faço cada produto:
Somando:
Passo 4
Agora o segundo termo:
.
Calculo cada produto:
Somando:
Passo 5
Pelo produto escalar,
. Logo:
Isto responde a parte (a).
Passo 6
Parte (b): expandir primeiro
:
Calculo termo a termo:
Somando:
Agora derivo termo a termo (regra da potência):
Comparação: é exatamente o mesmo resultado obtido em (a), portanto as duas maneiras coincidem.
Resposta
(a)
(b) Ao expandir
e derivar obtém-se
, que coincide com (a).