Nos Exercicios de 1 a 19, escreva os quatro primeiros elementos da seqüência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seut limite.
(1+2n)^n Veja a sugestaio para o Exercicio 15.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os quatro primeiros termos da sequência an = l(1+tfrac2nr)^n, identificar se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, determinar o seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências e o limite fundamental limntoinftyl(1+tfracxnr)^n = e^x.

Passo 2

Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4:
a1 &= l(1+tfrac21r)^1 = 3, a2 &= l(1+tfrac22r)^2 = 2^2 = 4, a3 &= l(1+tfrac23r)^3 = l(tfrac53r)^3 = tfrac12527approx4,6296, a4 &= l(1+tfrac24r)^4 = (1,5)^4 = 5,0625
Uma sequência (an) converge se seus termos se aproximam de um valor fixo quando ntoinfty. Aqui, reconhecemos o limite fundamental de uma forma exponencial.

Passo 3

Aplicando o resultado limntoinftyl(1+tfracxnr)^n = e^x com x=2, temos:
limntoinfty an = limntoinftyl(1+tfrac2nr)^n = e^2
Portanto, a sequência é convergente e seu limite é e^2.

Resposta

Os quatro primeiros termos são 3, 4, 125/27 (≈4,6296) e 5,0625. A sequência é convergente e seu limite é e².

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