Nos exercícios de 20-25 calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\iint_{R} \sqrt{14-x^{2}-y^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \mid 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}. Resp.: \frac{10 \pi}{3}(2 \sqrt{10}-\sqrt{5})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{14-x^{2}-y^{2}}\,dA,
onde R=\{(x,y)\mid 4\le x^{2}+y^{2}\le 9\}. Foi pedido explicitamente que se converta para coordenadas polares antes de calcular. Informações dadas que vamos usar:
\text{integrando: }\sqrt{14-x^{2}-y^{2}},\qquad R=\{(x,y)\mid 4\le x^{2}+y^{2}\le 9\}.
O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas polares. Lembrete (explicando devagar):
  • Em coordenadas polares temos as substituições \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\;.
  • A expressão x^{2}+y^{2} vira \;r^{2}\; porque (r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}.
  • O elemento de área dA se transforma em \;r\,dr\,d\theta\;. Isso vem do jacobiano da mudança de variáveis; pense em um pequeno pedaço de área que em polares tem largura dr e comprimento aproximado r\,d\theta, logo área r\,dr\,d\theta.
Agora as fronteiras: como 4\le x^{2}+y^{2}\le 9 e x^{2}+y^{2}=r^{2}, obtemos
2\le r\le 3.
O anel é todo ao redor da origem, então \theta percorre a volta completa:
0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Escrevendo a integral em polares, substituímos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{R}\sqrt{14-x^{2}-y^{2}}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\sqrt{14-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Como o integrando não depende de \theta (apenas de r), podemos separar a integração em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\sqrt{14-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{2}^{3}r\sqrt{14-r^{2}}\,dr\right) =2\pi\int_{2}^{3}r\sqrt{14-r^{2}}\,dr.

Passo 5

Calculemos a integral em r
I_r=\int_{2}^{3}r\sqrt{14-r^{2}}\,dr.
Use a substituição (explicando a técnica): escolha u=14-r^{2} porque a derivada de r^{2} é 2r, e o fator r\,dr aparece na integral. Então
u=14-r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=-\tfrac{1}{2}\,du.
Troque os limites: quando r=2 temos u=14-2^{2}=10; quando r=3 temos u=14-3^{2}=5. Substituindo,
I_r=\int_{r=2}^{r=3}r\sqrt{14-r^{2}}\,dr =\int_{u=10}^{u=5}\sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) =-\tfrac{1}{2}\int_{10}^{5}u^{1/2}\,du.
Invertemos os limites para tirar o sinal:
I_r=\tfrac{1}{2}\int_{5}^{10}u^{1/2}\,du.

Passo 6

Integramos u^{1/2} usando a regra da potência: \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
I_r=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{5}^{10} =\frac{1}{3}\left(10^{3/2}-5^{3/2}\right).

Passo 7

Voltemos à integral total, que era 2\pi vezes I_r:
\iint_{R}\sqrt{14-x^{2}-y^{2}}\,dA =2\pi\cdot I_r =2\pi\cdot\frac{1}{3}\left(10^{3/2}-5^{3/2}\right) =\frac{2\pi}{3}\left(10^{3/2}-5^{3/2}\right).
Agora simplificamos as potências fracionárias: 10^{3/2}=(\sqrt{10})^{3}=10\sqrt{10} e 5^{3/2}=5\sqrt{5}. Substituindo,
\frac{2\pi}{3}\left(10\sqrt{10}-5\sqrt{5}\right) =\frac{2\pi}{3}\cdot5\left(2\sqrt{10}-\sqrt{5}\right) =\frac{10\pi}{3}\left(2\sqrt{10}-\sqrt{5}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{10\pi}{3}\bigl(2\sqrt{10}-\sqrt{5}\bigr)

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