Nos exercícios de
calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
, onde
. Resp.:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. Foi pedido explicitamente que se converta para coordenadas polares antes de calcular. Informações dadas que vamos usar:
O objetivo é calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas polares. Lembrete (explicando devagar):
- Em coordenadas polares temos as substituições
. - A expressão
vira porque . - O elemento de área
se transforma em . Isso vem do jacobiano da mudança de variáveis; pense em um pequeno pedaço de área que em polares tem largura e comprimento aproximado , logo área .
Agora as fronteiras: como
e
, obtemos
O anel é todo ao redor da origem, então
percorre a volta completa:
Passo 3
Escrevendo a integral em polares, substituímos
e
. Assim
Passo 4
Como o integrando não depende de
(apenas de
), podemos separar a integração em
:
Passo 5
Calculemos a integral em
Use a substituição (explicando a técnica): escolha
porque a derivada de
é
, e o fator
aparece na integral. Então
Troque os limites: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo,
Invertemos os limites para tirar o sinal:
Passo 6
Integramos
usando a regra da potência:
para
. Aqui
, então
Portanto
Passo 7
Voltemos à integral total, que era
vezes
:
Agora simplificamos as potências fracionárias:
e
. Substituindo,