Nos exercícios de 20-25 calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. \int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y Resp.: \frac{81}{2} \pi
Informações dadas que eu preciso listar claramente:
A variável exterior é y com y variando de -3 a 3.
Para cada y, x varia de -\sqrt{9-y^{2}} até \sqrt{9-y^{2}}.
O integrando é x^{2}+y^{2}.
A resposta indicada no enunciado é \frac{81}{2}\pi (vamos confirmar isso).
Passo 2
Interpretar a região de integração no plano xy. Observando os limites de x,
-\sqrt{9-y^{2}}\le x\le \sqrt{9-y^{2}}
para -3\le y\le 3. Essa é exatamente a descrição do disco de raio 3 centrado na origem. Em palavras: todos os pontos (x,y) tais que
x^{2}+y^{2}\le 9.
Portanto a região de integração é o disco de raio 3 centrado em (0,0).
Passo 3
Motivo para usar coordenadas polares e mudança de variáveis. Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Ao fazer essa mudança o elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Vou mostrar por que vem o fator r:
Calculo do jacobiano: a matriz das derivadas parciais é
Assim dx\,dy = | \det |\, dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta. Intuitivamente, pequenas variações \Delta r e \Delta\theta criam um setor de área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.]
Passo 4
Converter o integrando e os limites para polares. Primeiro o integrando:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta:
Agora os limites: como a região é o disco de raio 3, r varia de 0 até 3. O ângulo \theta percorre todo o disco, então varia de 0 até 2\pi. Logo a integral dupla em polares fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{3}\, dr\, d\theta.
Passo 5
Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{3} r^{3}\, dr.
Usamos a regra básica de potência: \displaystyle\int r^{n}\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=3, então
\int_{0}^{3} r^{3}\, dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4}-0 = \frac{81}{4}.
Verificar e concluir: a integral original é igual a \frac{81}{2}\pi, que coincide com a resposta indicada. Boa! Esse é um resultado natural: a média de x^{2}+y^{2} sobre o disco ponderada pelo elemento de área produz um fator de r^{2} e o cálculo fica direto em polares.