Nos exercícios de 20-25 calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y Resp.: \frac{81}{2} \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\, dx\, dy.
Informações dadas que eu preciso listar claramente:
  • A variável exterior é y com y variando de -3 a 3.
  • Para cada y, x varia de -\sqrt{9-y^{2}} até \sqrt{9-y^{2}}.
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.
  • A resposta indicada no enunciado é \frac{81}{2}\pi (vamos confirmar isso).

Passo 2

Interpretar a região de integração no plano xy. Observando os limites de x,
-\sqrt{9-y^{2}}\le x\le \sqrt{9-y^{2}}
para -3\le y\le 3. Essa é exatamente a descrição do disco de raio 3 centrado na origem. Em palavras: todos os pontos (x,y) tais que
x^{2}+y^{2}\le 9.
Portanto a região de integração é o disco de raio 3 centrado em (0,0).

Passo 3

Motivo para usar coordenadas polares e mudança de variáveis. Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Ao fazer essa mudança o elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Vou mostrar por que vem o fator r:
Calculo do jacobiano: a matriz das derivadas parciais é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det = (\cos\theta)(r\cos\theta)-(-r\sin\theta)(\sin\theta)=r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Assim dx\,dy = | \det |\, dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta. Intuitivamente, pequenas variações \Delta r e \Delta\theta criam um setor de área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.]

Passo 4

Converter o integrando e os limites para polares. Primeiro o integrando:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta:
(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy \longrightarrow r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\,dr\,d\theta.
Agora os limites: como a região é o disco de raio 3, r varia de 0 até 3. O ângulo \theta percorre todo o disco, então varia de 0 até 2\pi. Logo a integral dupla em polares fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{3}\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{3} r^{3}\, dr.
Usamos a regra básica de potência: \displaystyle\int r^{n}\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=3, então
\int_{0}^{3} r^{3}\, dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4}-0 = \frac{81}{4}.

Passo 6

Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{81}{4}\, d\theta = \frac{81}{4}\cdot \left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \frac{81}{4}\cdot 2\pi = \frac{81}{2}\pi.

Passo 7

Verificar e concluir: a integral original é igual a \frac{81}{2}\pi, que coincide com a resposta indicada. Boa! Esse é um resultado natural: a média de x^{2}+y^{2} sobre o disco ponderada pelo elemento de área produz um fator de r^{2} e o cálculo fica direto em polares.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{2}\pi

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