Nos exercícios de 16-19, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede três coisas: esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular a integral
Informações dadas: a integral dupla com as variáveis integradas na ordem
(interno) e depois
(externo); os limites internos são
variando de
até
e os limites externos são
variando de
até
. O objetivo final é encontrar o valor numérico da integral mudando a ordem de integração quando conveniente.
Passo 2
Esboçando a região: a condição interna
juntamente com
descreve todos os pontos
que satisfazem
Para desenhar: comece com o quadrado
no plano
. A reta
atravessa o quadrado diagonalmente. A região pedida fica entre essa reta
(lado inferior em relação a
) e a reta vertical
, com
indo de
a
. Ou seja, é o triângulo com vértices
,
e
. (Se estivesse vendo a figura, eu pegaria esses limites da imagem; aqui eu deduzi a região dos limites de integração dados.)
Passo 3
Descrever a região de maneira que possamos inverter a ordem: a região
é
Para inverter a ordem, vemos quais são os valores possíveis de
em
. O menor
em
é
(ocorre no ponto
) e o maior é
. Para um
fixo entre
e
,
varia desde a borda inferior
até a reta
. Portanto, a descrição invertida é
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem invertida:
Agora vamos integrar primeiro em
. Para
fixo,
é constante em relação a
, e uma primitiva de
em
é
(isso vale para
; no ponto
a integranda é
e não causa problema). Assim,
Expliquei a primitiva: se
então
. Multiplicando por
veio o fator
que aparece acima.
Passo 5
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples
Calculamos cada parte separadamente.
Para
usamos a substituição
. Então
, logo
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Para
é uma integral básica:
Subtraindo:
Passo 6
Checagem rápida: o passo crítico foi inverter os limites corretamente para obter
e
. A integração em
simplificou bem por causa da forma
. O caso
não causa problema porque a integranda
vale
quando
. Portanto o resultado final está bem definido e calculado.