Nos exercícios de 16-19, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} x^{2} e^{x y} d x d y \quad Resp.: \frac{e-2}{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular a integral
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy.
Informações dadas: a integral dupla com as variáveis integradas na ordem dx (interno) e depois dy (externo); os limites internos são x variando de y até 1 e os limites externos são y variando de 0 até 1. O objetivo final é encontrar o valor numérico da integral mudando a ordem de integração quando conveniente.

Passo 2

Esboçando a região: a condição interna y\le x\le 1 juntamente com 0\le y\le 1 descreve todos os pontos (x,y) que satisfazem
0\le y\le 1,\qquad y\le x\le 1.
Para desenhar: comece com o quadrado [0,1]\times[0,1] no plano xy. A reta x=y atravessa o quadrado diagonalmente. A região pedida fica entre essa reta x=y (lado inferior em relação a x) e a reta vertical x=1, com y indo de 0 a 1. Ou seja, é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1). (Se estivesse vendo a figura, eu pegaria esses limites da imagem; aqui eu deduzi a região dos limites de integração dados.)

Passo 3

Descrever a região de maneira que possamos inverter a ordem: a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;y\le x\le 1\}.
Para inverter a ordem, vemos quais são os valores possíveis de x em D. O menor x em D é 0 (ocorre no ponto (0,0)) e o maior é 1. Para um x fixo entre 0 e 1, y varia desde a borda inferior y=0 até a reta y=x. Portanto, a descrição invertida é
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le x.

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem invertida:
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x^{2} e^{x y}\,dy\,dx.
Agora vamos integrar primeiro em y. Para x fixo, x^{2} é constante em relação a y, e uma primitiva de e^{x y} em y é \dfrac{1}{x}e^{x y} (isso vale para x\neq 0; no ponto x=0 a integranda é 0 e não causa problema). Assim,
\int_{0}^{x} x^{2} e^{x y}\,dy = x^{2}\left[\frac{1}{x}e^{x y}\right]_{y=0}^{y=x} = x^{2}\left(\frac{1}{x}e^{x^{2}}-\frac{1}{x}e^{0}\right) = x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr).
Expliquei a primitiva: se F(y)=\dfrac{1}{x}e^{x y} então F'(y)=\dfrac{1}{x}\cdot x e^{x y}=e^{x y}. Multiplicando por x^{2} veio o fator x que aparece acima.

Passo 5

Agora a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{0}^{1} x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx - \int_{0}^{1} x\,dx.
Calculamos cada parte separadamente.
Para \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx usamos a substituição u=x^{2}. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).
Para \displaystyle \int_{0}^{1} x\,dx é uma integral básica:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr) - \frac{1}{2} = \frac{e-2}{2}.

Passo 6

Checagem rápida: o passo crítico foi inverter os limites corretamente para obter 0\le x\le 1 e 0\le y\le x. A integração em y simplificou bem por causa da forma e^{xy}. O caso x=0 não causa problema porque a integranda x^{2}e^{xy} vale 0 quando x=0. Portanto o resultado final está bem definido e calculado.

Resposta

\dfrac{e-2}{2}

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