Nos exercícios de 16-19, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{1} x^{3} \sin \left(y^{3}\right) d y d x \quad Resp.: \frac{1}{12}(1-\cos 1)

Passo 1

O enunciado pede três coisas: esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular a integral
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1} x^{3}\sin\left(y^{3}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
\;x varia originalmente de \;0 até \;1.
\;y varia, para cada x, de \;y=x^{2} até \;y=1.
Ou seja, a região é constituída por todos os pontos (x,y) que satisfazem
0\le x\le 1,\qquad x^{2}\le y\le 1.

Passo 2

Esboçar (mentalmente ou no caderno) a região: desenhe o eixo x e y. A curva \;y=x^{2} é uma parábola que passa por (0,0) e (1,1). As retas que aparecem são \;x=0 (eixo y) e \;y=1 (reta horizontal). A região está entre a parábola e a reta horizontal, para x entre 0 e 1: é a parte do “cap” acima da parábola até y=1. Para esboçar: trace \;y=x^{2}, marque x=0 e a linha y=1; a região é a área fechada por esses limites.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração precisamos descrever a mesma região trocando as variáveis: quais valores y assume no total, e para cada y quais valores de x correspondem?
Da descrição original temos \;x^{2}\le y\le 1 e \;0\le x\le 1.
Fixando y, a desigualdade \;x^{2}\le y implica \;|x|\le\sqrt{y}. Como x está entre 0 e 1 (ou seja, só a parte positiva), obtemos
0\le x\le \sqrt{y}.
Os possíveis valores de y vão do mínimo da parábola até 1. A parábola atinge 0 em x=0 e 1 em x=1, então y varia de 0 até 1. Portanto os novos limites são
0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le \sqrt{y}.

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem invertida (primeiro x, depois y):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3}\sin\left(y^{3}\right)\,dx\,dy.
Observe que \sin\left(y^{3}\right) é função de y apenas, então ao integrar em x ela pode ser tratada como constante.

Passo 5

Calcule a integral interna em x. Usamos a regra de potência para integrar x^{3} em relação a x:
\int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{y})^{4}}{4}-0 = \frac{y^{2}}{4}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em y:
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{4}\,\sin\left(y^{3}\right)\,dy.
Factor constante fora:
\frac{1}{4}\int_{0}^{1} y^{2}\sin\left(y^{3}\right)\,dy.

Passo 6

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} y^{2}\sin\left(y^{3}\right)\,dy fazemos a substituição u=y^{3}. Então:
u=y^{3}\quad\Rightarrow\quad du=3y^{2}\,dy\quad\Rightarrow\quad y^{2}\,dy=\frac{du}{3}.
Quando y=0 temos u=0. Quando y=1 temos u=1. Substituindo na integral:
\frac{1}{4}\int_{0}^{1} y^{2}\sin\left(y^{3}\right)\,dy = \frac{1}{4}\int_{u=0}^{1} \sin(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{12}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du.
Agora integramos \sin(u):
\int_{0}^{1}\sin(u)\,du = \left[-\cos(u)\right]_{0}^{1} = -\cos(1) -\big(-\cos(0)\big) = -\cos(1)+1 = 1-\cos(1).
Multiplicando pelo fator \frac{1}{12} obtemos o valor final da integral.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}\bigl(1-\cos 1\bigr)

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