Nos exercícios de 16-19, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede três coisas: esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular a integral
Informações dadas que vamos usar:
varia originalmente de
até
.
varia, para cada
, de
até
.
Ou seja, a região é constituída por todos os pontos que satisfazem
Ou seja, a região é constituída por todos os pontos
Passo 2
Esboçar (mentalmente ou no caderno) a região: desenhe o eixo
e
. A curva
é uma parábola que passa por
e
. As retas que aparecem são
(eixo
) e
(reta horizontal). A região está entre a parábola e a reta horizontal, para
entre
e
: é a parte do “cap” acima da parábola até
. Para esboçar: trace
, marque
e a linha
; a região é a área fechada por esses limites.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração precisamos descrever a mesma região trocando as variáveis: quais valores
assume no total, e para cada
quais valores de
correspondem?
Da descrição original temos
e
.
Fixando , a desigualdade
implica
. Como
está entre
e
(ou seja, só a parte positiva), obtemos
Fixando
Os possíveis valores de
vão do mínimo da parábola até
. A parábola atinge
em
e
em
, então
varia de
até
. Portanto os novos limites são
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem invertida (primeiro
, depois
):
Observe que
é função de
apenas, então ao integrar em
ela pode ser tratada como constante.
Passo 5
Calcule a integral interna em
. Usamos a regra de potência para integrar
em relação a
:
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Factor constante fora:
Passo 6
Para calcular
fazemos a substituição
. Então:
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral:
Agora integramos
:
Multiplicando pelo fator
obtemos o valor final da integral.