Questão 13 - A energia do Sol que chega até nós é transportada principalmente por meio de radiação eletromagnética (fótons). Podemos medir a intensidade da radiação solar acima da atmosfera encontrando aproximadamente 1.4 \frac{\mathrm{~kW}}{\mathrm{~m}^{2}}. Supondo que o Sol irradia isotropicamente e multiplicando este valor pela superfície de uma esfera com o raio igual à distância Terra-Sol ( 1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m} ), podemos estimar potência irradiada pelo Sol.
A energia solar é gerada por reações que consomem seu combustível, a massa solar, que é da ordem de 2.0 \times 10^{30} \mathrm{~kg}. Estimativas da ordem de grandeza do tempo que o Sol levará para consumir todo o seu combustível dependem do tipo de reação considerada na geração dessa energia. Supondo reações químicas que geram 2 \times 10^{7} \mathrm{~J} / \mathrm{kg} de combustível ou reações nucleares que geram 0.67 \times 10^{14} \mathrm{~J} / \mathrm{kg} de combustível, os tempos estimados são, respectivamente,
a) 3 milhões de anos ou 3 bilhões de anos.
b) 3000 anos ou 10 bilhões de anos.
c) 6000 anos ou 5 milhões de anos.
d) 3 bilhões de anos ou 6 bilhões de anos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime os tempos que o Sol levaria para consumir toda a sua massa supondo dois tipos de reação (química e nuclear). Dados fornecidos pelo enunciado (vou listá-los exatamente como foram dados):
I = 1{,}4\times10^{3}\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\quad\text{(intensidade solar acima da atmosfera)}
r = 1{,}5\times10^{11}\\ \mathrm{m}\quad\text{(distância Terra–Sol)}â
M = 2{,}0\times10^{30}\\ \mathrm{kg}\quad\text{(massa do Sol)}
\text{energia por kg (reações químicas)} = 2{,}0\times10^{7}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}çõí
\text{energia por kg (reações nucleares)} = 0{,}67\times10^{14}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}çõ
Também é dada a suposição de que o Sol irradia isotropicamente, então a potência total irradiada pode ser estimada multiplicando I pela superfície de uma esfera de raio r. O objetivo final é obter os tempos (em anos) correspondentes às duas hipóteses de geração de energia.

Passo 2

Vamos calcular a superfície da esfera de raio r. A fórmula da área de uma esfera é
A = 4\pi r^{2},
onde A é a área em \mathrm{m}^{2} e r é o raio em \mathrm{m}.
Calcule r^{2}:
r^{2} = (1{,}5\times10^{11})^{2} = 2{,}25\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora a área:
A = 4\pi \cdot 2{,}25\times10^{22} = 9\pi\times10^{22}\\ \mathrm{m}^{2}.
Aproximando \pi\approx3{,}1416,
A \approx 9\times3{,}1416\times10^{22} \approx 2{,}8274\times10^{23}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 3

A potência total irradiada pelo Sol, P, é a intensidade multiplicada pela área:
P = I\cdot A.
Substituindo I=1{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}} e A\approx2{,}8274\times10^{23}\\ \mathrm{m^{2}},
P \approx 1{,}4\times10^{3}\times 2{,}8274\times10^{23} = (1{,}4\times2{,}8274)\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Calcule o coeficiente:
1{,}4\times2{,}8274 \approx 3{,}9584,
portanto
P \approx 3{,}9584\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Para nossos propósitos de estimativa podemos usar
P \approx 3{,}96\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Observação rápida: \mathrm{W}=\mathrm{J/s}, então essa potência corresponde à energia por segundo que o Sol emite.

Passo 4

Agora calculamos a energia total disponível se todo o Sol fosse convertido em energia por cada tipo de reação. A fórmula é
E = M \cdot \varepsilon,
onde E é a energia total em \mathrm{J}, M é a massa em \mathrm{kg} e \varepsilon é a energia por unidade de massa em \mathrm{J/kg}.
Para reações químicas ( \varepsilon_{\text{q}}=2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{J/kg}):
E_{\text{q}} = 2{,}0\times10^{30}\times2{,}0\times10^{7} = 4{,}0\times10^{37}\\ \mathrm{J}.
Para reações nucleares ( \varepsilon_{\text{n}}=0{,}67\times10^{14}\\ \mathrm{J/kg} que é 6{,}7\times10^{13}\\ \mathrm{J/kg}):
E_{\text{n}} = 2{,}0\times10^{30}\times0{,}67\times10^{14} = 1{,}34\times10^{44}\\ \mathrm{J}.
(Detalhe do cálculo: 0{,}67\times2{,}0=1{,}34 e 10^{14}\times10^{30}=10^{44}.)

Passo 5

O tempo que levaria para o Sol emitir essa energia à taxa P é dado por
t = \frac{E}{P},
onde t está em segundos se E está em \mathrm{J} e P em \mathrm{J/s}.
Calcule t para reações químicas:
t_{\text{q}} = \frac{4{,}0\times10^{37}}{3{,}9584\times10^{26}} \approx 1{,}0106\times10^{11}\\ \mathrm{s}.
Para converter segundos em anos usamos aproximadamente
1\\ \text{ano} \approx 3{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Portanto
t_{\text{q}} \approx \frac{1{,}0106\times10^{11}}{3{,}15\times10^{7}} \approx 3{,}21\times10^{3}\\ \text{anos},
ou seja, cerca de 3{,}2\times10^{3} anos (aproximadamente 3200 anos). Em termos de ordem de magnitude isso corresponde a cerca de 3{,}0\times10^{3} anos.

Passo 6

Calcule t para reações nucleares:
t_{\text{n}} = \frac{1{,}34\times10^{44}}{3{,}9584\times10^{26}} \approx 0{,}3386\times10^{18}\\ \mathrm{s} = 3{,}386\times10^{17}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para anos:
t_{\text{n}} \approx \frac{3{,}386\times10^{17}}{3{,}15\times10^{7}} \approx 1{,}075\times10^{10}\\ \text{anos},
ou seja, cerca de 1{,}08\times10^{10} anos (aproximadamente 10{,}8 bilhões de anos). Em termos de ordens de grandeza isso corresponde a cerca de 10^{10} anos (10 bilhões de anos).

Passo 7

Resumo numérico dos tempos estimados (arredondando para comparações de ordem de magnitude):
t_{\text{química}} \approx 3{,}2\times10^{3}\\ \text{anos}\\ (\text{aprox. }3000\\ \text{anos}),í
t_{\text{nuclear}} \approx 1{,}08\times10^{10}\\ \text{anos}\\ (\text{aprox. }10\\ \text{bilhões de anos}).õ
Comparando com as alternativas dadas no enunciado, os valores correspondem à alternativa que dá cerca de 3000 anos para reações químicas e cerca de 10 bilhões de anos para reações nucleares.

Resposta

b)

Exercícios relacionados