Calcule as integrais curvilíneas integralC f(x, y) d s, integralC f(x, y) d x e integralC f(x, y) d y para C com a parametrização dada.
f(x, y)=x^3+y, x=3 t, y=t^3 ; 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos resolver as integrais curvilíneas integralC f(x, y) , ds, integralC f(x, y) , dx e integralC f(x, y) , dy para a curva C parametrizada por x = 3t e y = t^3, onde 0 <= t <= 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo que envolvem parametrização de curvas e integrais ao longo de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função ao longo de uma curva. A integral curvilínea integralC f(x, y) , ds representa a soma dos valores da função f(x, y) ponderados pelo comprimento infinitesimal da curva C. Para calcular isso, precisamos expressar tudo em termos da variável de parametrização t.

Passo 3

Dada a parametrização x = 3t e y = t^3, onde t varia de 0 a 1, podemos calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = 3 e dydt = 3t^2

Passo 4

O elemento de comprimento ds ao longo da curva é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz3^2 + (3t^2)^2 , dt = raiz9 + 9t^4 , dt = 3raiz1 + t^4 , dt

Passo 5

A função f(x, y) = x^3 + y pode ser expressa em termos de t:
f(x, y) = (3t)^3 + t^3 = 27t^3 + t^3 = 28t^3

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.

Integral integralC f(x, y) , ds

Substituindo f(x, y) e ds em termos de t:
integral0^1 28t^3 cdot 3raiz1 + t^4 , dt = 84 integral0^1 t^3 raiz1 + t^4 , dt
Para resolver essa integral, fazemos a substituição u = 1 + t^4, então du = 4t^3 dt, ou seja, t^3 dt = du4. Mudando os limites de integração:
Quando t = 0, u = 1; quando t = 1, u = 2.
A integral fica:
84 cdot 14 integral1^2 raizu , du = 21 integral1^2 u^1/2 , du = 21 [ 23 u^3/2 ]1^2 = 21 ( 23(2)^3/2 - 23(1)^3/2 )
Calculando:
2^3/2 = 2raiz2 e 1^3/2 = 1
Portanto:
21 ( 23 cdot 2raiz2 - 23 cdot 1 ) = 21 ( 4raiz23 - 23 ) = 21 cdot 4raiz2 - 23 = 7(4raiz2 - 2) = 28raiz2 - 14

Integral integralC f(x, y) , dx

Substituindo f(x, y) e dx em termos de t:
integral0^1 28t^3 cdot 3 , dt = 84 integral0^1 t^3 , dt = 84 [ t^44 ]0^1 = 84 cdot 14 = 21

Integral integralC f(x, y) , dy

Substituindo f(x, y) e dy em termos de t:
integral0^1 28t^3 cdot 3t^2 , dt = 84 integral0^1 t^5 , dt = 84 [ t^66 ]0^1 = 84 cdot 16 = 14

Resposta

integralC f(x, y) , ds = 28raiz2 - 14, integralC f(x, y) , dx = 21, e integralC f(x, y) , dy = 14

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