Calcule as integrais curvilíneas
e
para C com a parametrização dada.
Passo 1
Vamos resolver as integrais curvilíneas
,
e
para a curva
parametrizada por
e
, onde
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo que envolvem parametrização de curvas e integrais ao longo de curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar uma função ao longo de uma curva. A integral curvilínea
representa a soma dos valores da função
ponderados pelo comprimento infinitesimal da curva
. Para calcular isso, precisamos expressar tudo em termos da variável de parametrização
.
Passo 3
Dada a parametrização
e
, onde
varia de 0 a 1, podemos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
O elemento de comprimento
ao longo da curva é dado por:
Passo 5
A função
pode ser expressa em termos de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Integral
Substituindo
e
em termos de
:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. Mudando os limites de integração:
Quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Calculando:
Portanto:
Integral
Substituindo
e
em termos de
:
Integral
Substituindo
e
em termos de
: