Nos exercícios 1-20, encontre partial fpartial x e partial fpartial y
f(x, y)=(x^3+y2)^23

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=l(x^3+tfracy2r)^tfrac23
em relação a x e a y.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia: se f(u)=u^2/3 e u=g(x,y), então
partial fpartial x = f'(g),partial gpartial x, partial fpartial y = f'(g),partial gpartial y

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=x^3+tfracy2
Aplicando a regra da cadeia para partial f/partial x, temos
partial fpartial x = 23,l(g(x,y)r)^-tfrac13 cdot partialpartial xl(x^3+tfracy2r)
Como partial(x^3+tfracy2)/partial x = 3x^2,
partial fpartial x = 23,l(x^3+tfracy2r)^-tfrac13cdot 3x^2 =2x^2,l(x^3+tfracy2r)^-tfrac13

Passo 3

Agora, para partial f/partial y, usamos novamente a regra da cadeia:
partial fpartial y = 23,l(g(x,y)r)^-tfrac13 cdot partialpartial yl(x^3+tfracy2r)
Como partial(x^3+tfracy2)/partial y = tfrac12,
partial fpartial y = 23,l(x^3+tfracy2r)^-tfrac13cdot 12 =13,l(x^3+tfracy2r)^-tfrac13

Resposta

partial fpartial x =2x^2,l(x^3+tfracy2r)^-tfrac13, partial fpartial y =13,l(x^3+tfracy2r)^-tfrac13

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