Exercício 2. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais duplas abaixo.
integral duplaD(2 x-y) d A, com D sendo a região delimitada pela circunferência de centro na origem e raio 2 ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD(2x - y),dA
onde D é o disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Esboçamos D: é o conjunto
D = (x,y)mid x^2 + y^2 <= 4
Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral duplaD(2x - y),dA = integral0^2pi!integral0^2 l(2rcostheta - rsinthetar),r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^2r^2(2costheta - sintheta),dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2r^2,dr = 2^33 = 83
Logo
integral duplaD(2x - y),dA = 83integral0^2pi(2costheta - sintheta),dtheta
Como
integral0^2picostheta,dtheta = 0 e
integral0^2pisintheta,dtheta = 0,
segue que a integral angular vale zero.

Resposta

0

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