Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
e pede três coisas:
- achar a curva geradora (uma curva em um plano que, ao ser girada em torno de um eixo, gera a superfície);
- achar o eixo de revolução dessa superfície;
- fazer um esboço (descrição de como é a superfície e de cortes típicos).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a superfície é definida pela equação. Não há outras restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos procurar simetrias da equação para identificar o eixo de revolução. Note que a equação envolve
e
apenas na combinação
. Se aplicarmos uma rotação em torno do eixo
(ou seja, girarmos
por um ângulo
), a quantidade
permanece inalterada porque a rotação preserva distâncias no plano
. Formalmente, se
é a rotação de
então
. Portanto a superfície é invariante por rotações em torno do eixo formado pelos pontos com
e
. Conclusão: o eixo de revolução é o eixo
, ou seja, a reta
.
Passo 3
Para achar a curva geradora escolhemos um plano que contenha o eixo
; o plano mais simples é o plano
(plano
). Na interseção da superfície com esse plano, colocamos
na equação:
Isso é a equação de uma hipérbole no plano
. Essa hipérbole é a curva geradora: ao girar essa hipérbole em torno do eixo
obtemos a superfície completa.
Passo 4
Explique melhor a hipérbole geradora. A equação
pode ser reescrita como
É comum tomar a “ramo direita”
como curva geradora e girá-la em torno do eixo
: ao girar apenas o ramo com
obtém‑se toda a superfície (porque a rotação preenche as posições com
positivo e negativo). Uma parametrização conveniente da hipérbole (ramo direito) é dada por funções hiperbólicas:
pois
.
Passo 5
Agora parametrize a superfície como revolução da curva geradora. Girando o ponto
em torno do eixo
por um ângulo
obtemos a parametrização da superfície:
Esta é uma parametrização explícita da superfície como revolução da hipérbole do plano
em torno do eixo
.
Passo 6
Interpretação geométrica e cortes transversais (para esboçar): em coordenadas cilíndricas
com
, a equação fica
Para cada plano
constante o corte é um círculo de raio
. Exemplos numéricos (valores extraídos da equação):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Isso mostra que o raio é mínimo no centro () valendo e cresce quando aumenta. A superfície é simétrica por reflexão em relação ao plano e é conectada (é uma hipérbole de revolução de uma só folha, conhecida como hiperbóide de uma folha).
Passo 7
Comportamento assintótico: quando
,
Portanto a superfície tem como assíntota o cone duplo dado por
, isto é,
. Geometricamente a superfície aproxima-se de um cone com ângulo de 45° em relação ao eixo
quando
cresce muito.
Passo 8
Como esboçar em poucas etapas práticas (para fazer rápido na prova):
- Desenhar o eixo
vertical. - No plano
desenhar um círculo de raio . - Em
, desenhar círculos um pouco maiores (raio ), em círculos de raio e assim por diante; ligar suavemente estes círculos formando uma superfície lisa que fica mais larga conforme aumenta. - Marcar que a superfície é dupla simétrica em relação ao plano
e que tem assíntotas aproximando‑se do cone .
Resposta
Curva geradora:
no plano
(ou seja, a hipérbole
; tipicamente usa‑se o ramo
).
Eixo da superfície: eixo , isto é, a reta
.
Eixo da superfície: eixo