Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
x^{2}+y^{2}-z^{2}=4

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação x^{2}+y^{2}-z^{2}=4 e pede três coisas:
  • achar a curva geradora (uma curva em um plano que, ao ser girada em torno de um eixo, gera a superfície);
  • achar o eixo de revolução dessa superfície;
  • fazer um esboço (descrição de como é a superfície e de cortes típicos).
    Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a superfície é definida pela equação x^{2}+y^{2}-z^{2}=4. Não há outras restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos procurar simetrias da equação para identificar o eixo de revolução. Note que a equação envolve x e y apenas na combinação x^{2}+y^{2}. Se aplicarmos uma rotação em torno do eixo z (ou seja, girarmos (x,y) por um ângulo \theta), a quantidade x^{2}+y^{2} permanece inalterada porque a rotação preserva distâncias no plano xy. Formalmente, se (x',y') é a rotação de (x,y) então x'^{2}+y'^{2}=x^{2}+y^{2}. Portanto a superfície é invariante por rotações em torno do eixo formado pelos pontos com x=0 e y=0. Conclusão: o eixo de revolução é o eixo z, ou seja, a reta \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Para achar a curva geradora escolhemos um plano que contenha o eixo z; o plano mais simples é o plano y=0 (plano xz). Na interseção da superfície com esse plano, colocamos y=0 na equação:
x^{2}+0^{2}-z^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-z^{2}=4.
Isso é a equação de uma hipérbole no plano xz. Essa hipérbole é a curva geradora: ao girar essa hipérbole em torno do eixo z obtemos a superfície completa.

Passo 4

Explique melhor a hipérbole geradora. A equação x^{2}-z^{2}=4 pode ser reescrita como
x^{2}=z^{2}+4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{z^{2}+4}.
É comum tomar a “ramo direita” x=+\sqrt{z^{2}+4} como curva geradora e girá-la em torno do eixo z: ao girar apenas o ramo com x\ge 0 obtém‑se toda a superfície (porque a rotação preenche as posições com x positivo e negativo). Uma parametrização conveniente da hipérbole (ramo direito) é dada por funções hiperbólicas:
x=2\operatorname{cosh} u,\qquad z=2\operatorname{sinh} u,\qquad u\in\mathbb{R},
pois (2\operatorname{cosh} u)^{2}-(2\operatorname{sinh} u)^{2}=4(\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u)=4.

Passo 5

Agora parametrize a superfície como revolução da curva geradora. Girando o ponto (x,0,z)=(2\operatorname{cosh} u,0,2\operatorname{sinh} u) em torno do eixo z por um ângulo \theta\in[0,2\pi) obtemos a parametrização da superfície:
\begin{aligned} x(u,\theta)&=2\operatorname{cosh} u\cos\theta,\\\ y(u,\theta)&=2\operatorname{cosh} u\sin\theta,\\\ z(u,\theta)&=2\operatorname{sinh} u, \end{aligned} \qquad u\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi).
Esta é uma parametrização explícita da superfície como revolução da hipérbole do plano y=0 em torno do eixo z.

Passo 6

Interpretação geométrica e cortes transversais (para esboçar): em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a equação fica
r^{2}-z^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{z^{2}+4}.
Para cada plano z= constante o corte é um círculo de raio r=\sqrt{z^{2}+4}. Exemplos numéricos (valores extraídos da equação):
  • Para z=0: r=\sqrt{0+4}=2.
  • Para z=\pm1: r=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx2,236.
  • Para z=\pm2: r=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\approx2,828.
    Isso mostra que o raio é mínimo no centro ( z=0) valendo 2 e cresce quando |z| aumenta. A superfície é simétrica por reflexão em relação ao plano z=0 e é conectada (é uma hipérbole de revolução de uma só folha, conhecida como hiperbóide de uma folha).

Passo 7

Comportamento assintótico: quando |z|\to\infty,
r=\sqrt{z^{2}+4}=|z|\sqrt{1+\frac{4}{z^{2}}}\sim|z|\left(1+\frac{2}{z^{2}}+\cdots\right)\approx|z|.
Portanto a superfície tem como assíntota o cone duplo dado por r=|z|, isto é, x^{2}+y^{2}-z^{2}=0. Geometricamente a superfície aproxima-se de um cone com ângulo de 45° em relação ao eixo z quando |z| cresce muito.

Passo 8

Como esboçar em poucas etapas práticas (para fazer rápido na prova):
  1. Desenhar o eixo z vertical.
  2. No plano z=0 desenhar um círculo de raio 2.
  3. Em z=\pm1, desenhar círculos um pouco maiores (raio \sqrt{5}), em z=\pm2 círculos de raio \sqrt{8} e assim por diante; ligar suavemente estes círculos formando uma superfície lisa que fica mais larga conforme |z| aumenta.
  4. Marcar que a superfície é dupla simétrica em relação ao plano z=0 e que tem assíntotas aproximando‑se do cone x^{2}+y^{2}=z^{2}.

Resposta

Curva geradora: x^{2}-z^{2}=4 no plano y=0 (ou seja, a hipérbole x=\pm\sqrt{z^{2}+4}; tipicamente usa‑se o ramo x=2\operatorname{cosh} u,\\ z=2\operatorname{sinh} u).
Eixo da superfície: eixo z, isto é, a reta \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

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