Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
y^{2}+z^{2}=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por \;y^{2}+z^{2}=e^{2x}\; e pede três coisas:
  • A curva geradora (ou geratriz) cuja revolução produz essa superfície.
  • O eixo da revolução (o eixo em torno do qual se gira a curva).
  • Um esboço (descrição de como a superfície se parece e como desenhá‑la).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x, y e z por \;y^{2}+z^{2}=e^{2x}\;.
  • A parte y^{2}+z^{2} depende só das distâncias no plano yz (isto é, da distância radial ao eixo x).

Passo 2

Interpretação geométrica básica (por que é superfície de revolução e qual eixo):
  • Defina a coordenada radial no plano yz por \;r=\sqrt{y^{2}+z^{2}}\;. Aqui \;r\ge0\; mede a distância do ponto (x,y,z) ao eixo x.
  • Substituindo, a equação fica \;r^{2}=e^{2x}\;, ou equivalentemente \;r=e^{x}\;, porque e^{x}>0 sempre.
  • A equação depende apenas de x e de r, não dos ângulos em yz. Isso significa invariância por rotações em torno do eixo x.
  • Portanto o eixo de revolução é a reta \;y=0,\;z=0\;, ou seja, o eixo x.

Passo 3

Identificar a curva geradora (modo prático):
  • A curva geradora é a curva no plano que, ao ser girada em torno do eixo x, produz a superfície. Uma escolha natural é tomar o plano z=0 (plano xy).
  • No plano z=0 a equação reduz para \;y^{2}=e^{2x}\;, ou seja \;y=e^{x}\; (tomando y\ge0 para a geratriz superior — ao girar esse ramo obtém‑se toda a superfície).
  • Logo, uma geratriz conveniente é a curva parametrizada por \;x=t,\;y=e^{t},\;z=0\;, com t\in\mathbb{R}. Em palavras: o gráfico da função \;y=e^{x}\; no plano z=0 (apenas a parte com y>0).

Passo 4

Parametrização completa da superfície (útil para visualizar e para calcular depois):
  • Ao girar a geratriz \;(t,e^{t},0) em torno do eixo x, introduzimos um ângulo \theta\in[0,2\pi) no plano yz. A parametrização fica
\mathbf{r}(t,\theta)=\bigl(t,\;e^{t}\cos\theta,\;e^{t}\sin\theta\bigr),
com \;t\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi).
  • Verifique que \;y^{2}+z^{2}=e^{2t}\cos^{2}\theta+e^{2t}\sin^{2}\theta=e^{2t}\;=\;e^{2x}\; (pois x=t), então a parametrização descreve exatamente a superfície dada.

Passo 5

Propriedades geométricas e comportamento (como entender a forma para desenhar):
  • Secções por planos \;x=\text{constante} são círculos centrados no eixo x de raio \;r=e^{x}\;.
  • Quando \;x\to -\infty\; tem‑se \;e^{x}\to0\;: a superfície afina e aproxima‑se do eixo x. Não há buraco: aproxima assintoticamente o eixo.
  • Quando \;x\to +\infty\; tem‑se \;e^{x}\to+\infty\;: a superfície abre exponencialmente, ficando cada vez mais larga para x grandes.
  • Portanto a superfície é um “trompete”/“corneta” que se estreita para a esquerda (próximo a x\to-\infty) e se expande para a direita, sem limites superiores de raio.

Passo 6

Como fazer um esboço passo a passo (pra usar na prova; desenhe manualmente):
  1. Desenhe o eixo x horizontal e marque alguns valores de x (por exemplo x=-2,-1,0,1,2).
  2. No plano z=0 (o plano do desenho), esboce a curva \;y=e^{x}\; (para y>0): ela é pequena para x negativos e cresce rápido para x positivos.
  3. Em cada valor x=x_{0} desenhe um círculo de raio e^{x_{0}} centrado no eixo x (no desenho, os círculos aparecem como arcos acima e abaixo do eixo, por causa da projeção 2D).
  4. Ligue suavemente esses círculos formando uma superfície contínua que se estreita à esquerda e abre à direita.
    Dica visual: pense na superfície como o conjunto de todos os círculos cujo raio varia exponencialmente com a coordenada x.

Passo 7

Resumo didático curto (para decorar e usar na hora da prova):
  • Substituir r=\sqrt{y^{2}+z^{2}} transforma \;y^{2}+z^{2}=e^{2x}\; em \;r=e^{x}\;.
  • Eixo de revolução: eixo x.
  • Curva geradora: \;z=0,\\ y=e^{x} (com y>0); ao girar essa curva em torno do eixo x obtém‑se a superfície.
  • Parametrização útil: \;\mathbf{r}(t,\theta)=\bigl(t,e^{t}\cos\theta,e^{t}\sin\theta\bigr).

Resposta

Curva geradora: \; \{(x,y,z)\mid z=0,\;y=e^{x},\\ x\in\mathbb{R}\}.\nEixo da revolução: \; \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} (eixo x).\nEsboço: superfície obtida ao girar \;y=e^{x} em torno do eixo x; círculos de rádio \;e^{x} em seções x=const., estreitando para x\to -\infty e abrindo exponencialmente para x\to+\infty.

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