Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede três coisas:
- A curva geradora (ou geratriz) cuja revolução produz essa superfície.
- O eixo da revolução (o eixo em torno do qual se gira a curva).
- Um esboço (descrição de como a superfície se parece e como desenhá‑la).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
, e por . - A parte
depende só das distâncias no plano (isto é, da distância radial ao eixo ).
Passo 2
Interpretação geométrica básica (por que é superfície de revolução e qual eixo):
- Defina a coordenada radial no plano
por Aqui mede a distância do ponto ao eixo . - Substituindo, a equação fica
, ou equivalentemente porque sempre. - A equação depende apenas de
e de , não dos ângulos em . Isso significa invariância por rotações em torno do eixo . - Portanto o eixo de revolução é a reta
, ou seja, o eixo .
Passo 3
Identificar a curva geradora (modo prático):
- A curva geradora é a curva no plano que, ao ser girada em torno do eixo
, produz a superfície. Uma escolha natural é tomar o plano (plano ). - No plano
a equação reduz para , ou seja (tomando para a geratriz superior — ao girar esse ramo obtém‑se toda a superfície). - Logo, uma geratriz conveniente é a curva parametrizada por
com . Em palavras: o gráfico da função no plano (apenas a parte com ).
Passo 4
Parametrização completa da superfície (útil para visualizar e para calcular depois):
- Ao girar a geratriz
em torno do eixo , introduzimos um ângulo no plano . A parametrização fica
com
.
- Verifique que
(pois ), então a parametrização descreve exatamente a superfície dada.
Passo 5
Propriedades geométricas e comportamento (como entender a forma para desenhar):
- Secções por planos
são círculos centrados no eixo de raio - Quando
tem‑se : a superfície afina e aproxima‑se do eixo . Não há buraco: aproxima assintoticamente o eixo. - Quando
tem‑se : a superfície abre exponencialmente, ficando cada vez mais larga para grandes. - Portanto a superfície é um “trompete”/“corneta” que se estreita para a esquerda (próximo a
) e se expande para a direita, sem limites superiores de raio.
Passo 6
Como fazer um esboço passo a passo (pra usar na prova; desenhe manualmente):
- Desenhe o eixo
horizontal e marque alguns valores de (por exemplo ). - No plano
(o plano do desenho), esboce a curva (para ): ela é pequena para negativos e cresce rápido para positivos. - Em cada valor
desenhe um círculo de raio centrado no eixo (no desenho, os círculos aparecem como arcos acima e abaixo do eixo, por causa da projeção 2D). - Ligue suavemente esses círculos formando uma superfície contínua que se estreita à esquerda e abre à direita.
Dica visual: pense na superfície como o conjunto de todos os círculos cujo raio varia exponencialmente com a coordenada.
Passo 7
Resumo didático curto (para decorar e usar na hora da prova):
- Substituir
transforma em . - Eixo de revolução: eixo
. - Curva geradora:
(com ); ao girar essa curva em torno do eixo obtém‑se a superfície. - Parametrização útil:
.
Resposta
Curva geradora:
.\nEixo da revolução:
(eixo
).\nEsboço: superfície obtida ao girar
em torno do eixo
; círculos de rádio
em seções
const., estreitando para
e abrindo exponencialmente para
.