Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
y^{2}=z^{3} no plano y z, em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado dá a curva plana
y^{2}=z^{3}
no plano yz (ou seja, na reta x=0 no espaço (x,y,z)) e pede que se ache a equação da superfície de revolução obtida ao girar essa curva em torno do eixo z. Também pede um esboço dessa superfície.
Informações e pedidos extraídas:
  • A curva fica no plano x=0 e seus pontos têm coordenadas (0,y,z) satisfazendo \;y^{2}=z^{3}.
  • O eixo de rotação é o eixo z (vertical).
  • Precisa-se da equação da superfície no espaço (x,y,z) e de um esboço/descritivo do aspecto da superfície.
  • Observação importante: a relação \;y^{2}=z^{3} implica que o lado direito é não negativo, então haverá restrição no valor de z quando passarmos para a superfície.

Passo 2

Entendendo o que acontece quando se rotaciona um ponto da curva em torno do eixo z.
Tomemos um ponto genérico da curva no plano x=0: (0,y_{0},z_{0}) com \;y_{0}^{2}=z_{0}^{3}.
Ao girar esse ponto em torno do eixo z, ele descreve um círculo paralelo ao plano xy (mesma altura z_{0}), com centro no eixo z e raio igual a |y_{0}|. Em coordenadas cartesianas, todos os pontos desse círculo satisfazem
x^{2}+y^{2}=y_{0}^{2}
e têm coordenada z=z_{0}.
Explicando devagar: a distância de qualquer ponto (x,y,z) ao eixo z é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Para o ponto girado essa distância é exatamente |y_{0}|. Por isso o círculo de rotação tem equação x^{2}+y^{2}=y_{0}^{2} à altura z_{0}.

Passo 3

Substituindo a condição da curva original para obter a equação da superfície.
Pela curva original temos y_{0}^{2}=z_{0}^{3}. Substituindo em x^{2}+y^{2}=y_{0}^{2} obtemos, para os pontos da superfície,
x^{2}+y^{2}=z^{3}.
Aqui é importante notar a restrição de domínio: o lado esquerdo x^{2}+y^{2} é sempre não negativo, logo o lado direito z^{3} também deve ser não negativo. Isso implica que só existem pontos da superfície para
z\ge 0.
Portanto a superfície é dada por
x^{2}+y^{2}=z^{3},\qquad z\ge 0.

Passo 4

Escrevendo uma parametrização útil (forma prática para entender e desenhar).
Usando coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a equação fica r^{2}=z^{3}. Tomando z\ge 0 e \theta\in[0,2\pi), temos r=z^{3/2}. Uma parametrização da superfície é
\mathbf{R}(z,\theta)=\bigl(z^{3/2}\cos\theta,\;z^{3/2}\sin\theta,\;z\bigr),
com \;z\ge 0,\;0\le\theta<2\pi.
Aqui cada z fixa uma circuferência de raio z^{3/2} e \theta percorre essa circunferência.

Passo 5

Intuição da forma e comportamento da superfície (como desenhar e o que olhar na prova).
  • A superfície é simétrica por rotação em torno do eixo z.
  • Em z=0 temos r=0, ou seja, a superfície tem um ponto único no origem (0,0,0) (ponta ou vértice).
  • Para cada z>0 a seção horizontal z=\text{const} é uma circunferência de raio r=z^{3/2}. Assim o raio cresce com z mais rápido do que linear (crescimento em potência 3/2).
  • Para exemplo numérico: em z=1 o raio é 1^{3/2}=1; em z=2 o raio é 2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828; em z=0{,}25 o raio é (0{,}25)^{3/2}=0{,}125.
  • Não existem pontos com z<0 porque isso faria z^{3}<0, impossível para x^{2}+y^{2}.

Passo 6

Como esboçar rápido (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe um eixo vertical e marque o eixo z. Desenhe o eixo horizontal para representar radii no plano xy.
  2. Marque o ponto origem (0,0,0) — é a ponta da superfície.
  3. Para algumas alturas z (por exemplo z=0{,}25,\;1,\;2) desenhe círculos de raio z^{3/2}: muito pequenos perto de 0, raio 1 em z=1, raio \approx2{,}828 em z=2.
  4. Una suavemente essas circunferências para obter a superfície que se abre para cima formando algo parecendo um “chifre” ou um “bocal” que cresce aceleradamente com z.
  5. Indique que não há nada abaixo de z=0.
Dica prática: desenhe apenas meia-seção no plano x=0 (a curva y^{2}=z^{3} com z\ge0 — duas ramificações y=\pm z^{3/2}) e depois rode mentalmente essa meia-seção em torno do eixo z para visualizar a superfície completa.

Resposta

x^{2}+y^{2}=z^{3},\\ z\ge 0

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