Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva plana
no plano
(ou seja, na reta
no espaço
) e pede que se ache a equação da superfície de revolução obtida ao girar essa curva em torno do eixo
. Também pede um esboço dessa superfície.
Informações e pedidos extraídas:
- A curva fica no plano
e seus pontos têm coordenadas satisfazendo . - O eixo de rotação é o eixo
(vertical). - Precisa-se da equação da superfície no espaço
e de um esboço/descritivo do aspecto da superfície. - Observação importante: a relação
implica que o lado direito é não negativo, então haverá restrição no valor de quando passarmos para a superfície.
Passo 2
Entendendo o que acontece quando se rotaciona um ponto da curva em torno do eixo
.
Tomemos um ponto genérico da curva no plano
:
com
.
Ao girar esse ponto em torno do eixo , ele descreve um círculo paralelo ao plano
(mesma altura
), com centro no eixo
e raio igual a
. Em coordenadas cartesianas, todos os pontos desse círculo satisfazem
Ao girar esse ponto em torno do eixo
e têm coordenada
.
Explicando devagar: a distância de qualquer ponto
ao eixo
é
. Para o ponto girado essa distância é exatamente
. Por isso o círculo de rotação tem equação
à altura
.
Passo 3
Substituindo a condição da curva original para obter a equação da superfície.
Pela curva original temos
. Substituindo em
obtemos, para os pontos da superfície,
Aqui é importante notar a restrição de domínio: o lado esquerdo
é sempre não negativo, logo o lado direito
também deve ser não negativo. Isso implica que só existem pontos da superfície para
Portanto a superfície é dada por
Passo 4
Escrevendo uma parametrização útil (forma prática para entender e desenhar).
Usando coordenadas cilíndricas
com
, a equação fica
. Tomando
e
, temos
. Uma parametrização da superfície é
com
Aqui cada
fixa uma circuferência de raio
e
percorre essa circunferência.
Passo 5
Intuição da forma e comportamento da superfície (como desenhar e o que olhar na prova).
- A superfície é simétrica por rotação em torno do eixo
. - Em
temos , ou seja, a superfície tem um ponto único no origem (ponta ou vértice). - Para cada
a seção horizontal é uma circunferência de raio . Assim o raio cresce com mais rápido do que linear (crescimento em potência ). - Para exemplo numérico: em
o raio é ; em o raio é ; em o raio é . - Não existem pontos com
porque isso faria , impossível para .
Passo 6
Como esboçar rápido (passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe um eixo vertical e marque o eixo
. Desenhe o eixo horizontal para representar radii no plano . - Marque o ponto origem
— é a ponta da superfície. - Para algumas alturas
(por exemplo ) desenhe círculos de raio : muito pequenos perto de , raio em , raio em . - Una suavemente essas circunferências para obter a superfície que se abre para cima formando algo parecendo um “chifre” ou um “bocal” que cresce aceleradamente com
. - Indique que não há nada abaixo de
.
Dica prática: desenhe apenas meia-seção no plano
(a curva
com
— duas ramificações
) e depois rode mentalmente essa meia-seção em torno do eixo
para visualizar a superfície completa.