Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
9 x^{2}-y^{2}+9 z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
9x^{2}-y^{2}+9z^{2}=0
e pede três coisas: (1) achar a curva geradora, (2) achar o eixo da superfície de revolução e (3) fazer um esboço da superfície. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação explícita da superfície é \;9x^{2}-y^{2}+9z^{2}=0.
  • Não há outras restrições (domínio implícito é todo (x,y,z) que satisfazem a equação).
  • A superfície parece ter uma simetria entre x e z (os termos aparecem de forma idêntica), o que é um indício útil para encontrar eixo e geratriz.

Passo 2

Reescrevendo a equação para deixar evidente a relação entre y e a distância radial no plano x\!z:
9x^{2}+9z^{2}=y^{2}.
Fatorando:
y^{2}=9\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr).
Aqui é importante entender cada termo:
  • \;x^{2}+z^{2} é o quadrado da distância radial ao eixo y (ou seja, se definirmos r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}, então x^{2}+z^{2}=r^{2}).
  • A igualdade mostra que y^{2} é proporcional a r^{2} com fator 9.

Passo 3

Usando a notação radial mencionada, escrevemos a superfície em coordenadas cilíndricas ( r,\theta,y) como
y^{2}=9r^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |y|=3r.
Dessa forma a equação não depende de \theta. Quando uma equação não depende do ângulo \theta, significa que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo y. Portanto o eixo de revolução é o eixo y, isto é, a reta dada por
x=0,\quad z=0
(com y variando livremente). Conclusão: o eixo da superfície é o eixo y.

Passo 4

Para obter a curva geradora (a “geratriz”) é conveniente cortar a superfície por um plano que contenha o eixo y; o plano mais simples é o plano z=0. Substituindo z=0 na equação original obtemos:
9x^{2}-y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=9x^{2}.
Isso dá as duas retas no plano z=0:
y=3x \quad\text{e}\quad y=-3x.
Essas duas retas, no plano z=0, são as curvas geradoras: ao girar a reta y=3x (com x\ge 0) ao redor do eixo y obtém-se a “napa” superior do cone; ao girar y=-3x obtém-se a napa inferior. Portanto a geratriz pode ser tomada como a reta y=3x (mais a simétrica y=-3x) no plano z=0.

Passo 5

Explicando didaticamente por que a rotação da reta gera um cone: um ponto da reta y=3x no plano z=0 tem coordenadas (x,y,0) com y=3x. Ao girar esse ponto em torno do eixo y, o valor de r=\sqrt{x^{2}+z^{2}\,} passa a ser igual a |x| (pois z varia com a rotação), e a relação y=3x transforma-se na relação entre y e r, y=3r (com o sinal apropriado para cima/baixo). Assim obtemos a equação do cone em 3D:
|y|=3r=\;3\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
Isso é exatamente a superfície dada. Como |y|=3r tem duas folhas (uma com y\ge0, outra com y\le0), trata-se de um cone duplo com vértice na origem.

Passo 6

Algumas observações úteis para fazer rápido na prova:
  • O semiângulo entre o eixo y e a geratriz satisfaz \tan\alpha = \dfrac{r}{|y|}=\dfrac{1}{3}. Logo
\alpha=\arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 18{,}43^\circ.
  • A superfície é simétrica por rotação em torno do eixo y e também simétrica em relação ao plano y=0 (simetria acima/abaixo).
  • A geratriz no plano z=0 aparece como duas retas passando pela origem com inclinação 3 no gráfico y vs x.

Passo 7

Como fazer o esboço (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo vertical y e marque a origem O=(0,0,0).
  2. No plano z=0 desenhe as retas y=3x e y=-3x cruzando em O. Essas linhas são as seções longitudinais do cone.
  3. Revolva mentalmente essas retas ao redor do eixo y: visualize dois cones com vértice em O, um abrindo para y>0 e outro para y<0, com abertura relativamente estreita (ângulo cerca de 18{,}4^\circ com o eixo).
  4. Marque que a superfície é circular em seções transversais horizontais (planos y= constante), com raio r=|y|/3.

Resposta

Curva geradora: y=3x e y=-3x no plano z=0.
Eixo da superfície: x=0,\;z=0 (eixo y).
Esboço: cone duplo com vértice na origem, simétrico em y, satisfazendo |y|=3\sqrt{x^{2}+z^{2}} (semiângulo \alpha=\arctan(\tfrac{1}{3})\approx18{,}43^\circ).

Exercícios relacionados