Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede três coisas: (1) achar a curva geradora, (2) achar o eixo da superfície de revolução e (3) fazer um esboço da superfície. Informações relevantes fornecidas:
- A equação explícita da superfície é
. - Não há outras restrições (domínio implícito é todo
que satisfazem a equação). - A superfície parece ter uma simetria entre
e (os termos aparecem de forma idêntica), o que é um indício útil para encontrar eixo e geratriz.
Passo 2
Reescrevendo a equação para deixar evidente a relação entre
e a distância radial no plano
:
Fatorando:
Aqui é importante entender cada termo:
-
é o quadrado da distância radial ao eixo (ou seja, se definirmos , então ). - A igualdade mostra que
é proporcional a com fator .
Passo 3
Usando a notação radial mencionada, escrevemos a superfície em coordenadas cilíndricas (
) como
Dessa forma a equação não depende de
. Quando uma equação não depende do ângulo
, significa que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo
. Portanto o eixo de revolução é o eixo
, isto é, a reta dada por
(com
variando livremente). Conclusão: o eixo da superfície é o eixo
.
Passo 4
Para obter a curva geradora (a “geratriz”) é conveniente cortar a superfície por um plano que contenha o eixo
; o plano mais simples é o plano
. Substituindo
na equação original obtemos:
Isso dá as duas retas no plano
:
Essas duas retas, no plano
, são as curvas geradoras: ao girar a reta
(com
) ao redor do eixo
obtém-se a “napa” superior do cone; ao girar
obtém-se a napa inferior. Portanto a geratriz pode ser tomada como a reta
(mais a simétrica
) no plano
.
Passo 5
Explicando didaticamente por que a rotação da reta gera um cone: um ponto da reta
no plano
tem coordenadas
com
. Ao girar esse ponto em torno do eixo
, o valor de
passa a ser igual a
(pois
varia com a rotação), e a relação
transforma-se na relação entre
e
,
(com o sinal apropriado para cima/baixo). Assim obtemos a equação do cone em 3D:
Isso é exatamente a superfície dada. Como
tem duas folhas (uma com
, outra com
), trata-se de um cone duplo com vértice na origem.
Passo 6
Algumas observações úteis para fazer rápido na prova:
- O semiângulo entre o eixo
e a geratriz satisfaz . Logo
- A superfície é simétrica por rotação em torno do eixo
e também simétrica em relação ao plano (simetria acima/abaixo). - A geratriz no plano
aparece como duas retas passando pela origem com inclinação no gráfico vs .
Passo 7
Como fazer o esboço (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
- Desenhe o eixo vertical
e marque a origem . - No plano
desenhe as retas e cruzando em . Essas linhas são as seções longitudinais do cone. - Revolva mentalmente essas retas ao redor do eixo
: visualize dois cones com vértice em , um abrindo para e outro para , com abertura relativamente estreita (ângulo cerca de com o eixo). - Marque que a superfície é circular em seções transversais horizontais (planos
constante), com raio .
Resposta
Curva geradora:
e
no plano
.
Eixo da superfície: (eixo
).
Esboço: cone duplo com vértice na origem, simétrico em , satisfazendo
(semiângulo
).
Eixo da superfície:
Esboço: cone duplo com vértice na origem, simétrico em