Nos exercícios de 21 a 28 determine a integral indefinida.
25.
integral e^3 x(1-2 e^3 x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral e^3xl(1-2e^3xr)^2,dx
O conteúdo envolvido é o uso de substituição para integrar uma função composta do tipo f'(x)/[f(x)]^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - 2e^3x
Então precisamos calcular du.

Passo 3

Derivando u em relação a x:
du = -2 cdot 3e^3x,dx = -6e^3x,dx Longrightarrow e^3x,dx = -16,du

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral e^3xl(1-2e^3xr)^2,dx = integral -tfrac16,duu^2 = -16integral u^-2,du
Integrando:
-16integral u^-2,du = -16cdotl(-u^-1r)+C = 16u+C

Passo 5

Voltando à variável x:
u = 1 - 2e^3x Longrightarrow 16u = 16l(1-2e^3xr)

Resposta

integral e^3xl(1-2e^3xr)^2,dx = 16l(1-2e^3xr) + C

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