1. Seja sigma: Omega subset R^2 R^3, Omega aberto, uma superficie de classe C^1 dada por sigma(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Verifique que
partial sigmapartial u wed>= partial sigmapartial v=partial(y, z)partial(u, v) i+partial(z, x)partial(u, v) j+partial(x, y)partial(u, v) k

Passo 1

O enunciado define a parametrização de uma superfície de classe C^1
sigma(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r),
e pede para verificar a fórmula do produto vetorial
partialsigmapartial utimespartialsigmapartial v =partial(y,z)partial(u,v),i +partial(z,x)partial(u,v),j +partial(x,y)partial(u,v),k
O conteúdo usado será a definição de produto vetorial via determinante e a definição de determinante jacobiano de duas funções.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partialsigmapartial u =(xu,yu,zu), partialsigmapartial v =(xv,yv,zv),
onde usamos a notação curta xu=partial xpartial u, e assim por diante.

Passo 3

Pelo teorema do produto vetorial em coordenadas cartesianas, temos
partialsigmapartial u times partialsigmapartial v = i & j & k [6pt] xu & yu & zu [4pt] xv & yv & zv
Expandindo pela primeira linha obtemos
(yu zv - zu yv),i - (xu zv - zu xv),j + (xu yv - yu xv),k
Reescrevendo o sinal do termo em j, isto é,
- (xu zv - zu xv) = (zu xv - xu zv),
ficamos com
(yu zv - zu yv),i + (zu xv - xu zv),j + (xu yv - yu xv),k ]

Passo 4

Reconhecemos cada coeficiente como determinante jacobiano de duas variáveis:
partial(y,z)partial(u,v) =yu zv - yv zu =yu zv - zu yv,
partial(z,x)partial(u,v) =zu xv - zv xu =zu xv - xu zv,
partial(x,y)partial(u,v) =xu yv - xv yu =xu yv - yu xv
Substituindo na expressão do produto vetorial, obtemos exatamente
partialsigmapartial utimespartialsigmapartial v =partial(y,z)partial(u,v),i +partial(z,x)partial(u,v),j +partial(x,y)partial(u,v),k

Resposta

partialsigmapartial utimespartialsigmapartial v =partial(y,z)partial(u,v),i +partial(z,x)partial(u,v),j +partial(x,y)partial(u,v),k

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