- Seja
aberto, uma superficie de classe
dada por
. Verifique que
Passo 1
O enunciado define a parametrização de uma superfície de classe
e pede para verificar a fórmula do produto vetorial
O conteúdo usado será a definição de produto vetorial via determinante e a definição de determinante jacobiano de duas funções.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
onde usamos a notação curta
, e assim por diante.
Passo 3
Pelo teorema do produto vetorial em coordenadas cartesianas, temos
Expandindo pela primeira linha obtemos
Reescrevendo o sinal do termo em
j , isto é,
ficamos com
Passo 4
Reconhecemos cada coeficiente como determinante jacobiano de duas variáveis:
Substituindo na expressão do produto vetorial, obtemos exatamente