Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumi=1^+infty (n!)^2(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty (n!)^2(2n)!. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da razão de d’Alembert para decidir convergência.

Passo 2

Primeiro, definimos o termo geral da série como an = (n!)^2(2n)!. No teste da razão, calculamos o quociente L = limntoinfty l|an+1anr|.
Vamos calcular an+1an:
an+1an = [(n+1)!]^2/(2n+2)!(n!)^2/(2n)! = (n+1)^2,(n!)^2(2n+2)(2n+1)(2n)!times(2n)!(n!)^2 = (n+1)^2(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Agora simplificamos:
(n+1)^2(2n+2)(2n+1) = (n+1)^22(n+1),(2n+1) = n+12(2n+1) = n+14n+2
Para ntoinfty, isso tem limite
L = limntoinfty n+14n+2 = 14

Passo 4

Como L=1/4<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto, a série é convergente.

Resposta

Convergente.

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