Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty ln nn^2

Passo 1

Então, temos que analisar a série . O conteúdo que precisamos aqui é sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos: . Sabemos que cresce mais rapidamente que quando fica grande. Isso sugere que a série pode ser comparada com , que é uma série p com e sabemos que essa série converge porque .

Passo 3

Agora, definimos duas séries para comparar:
  • Nossa série original:
  • Série de comparação:
Queremos verificar se para todo suficientemente grande.

Passo 4

Vamos comparar os termos:
ln nn^2 <= 1n^2 para todo n >= 3
Isso porque cresce mais lentamente que qualquer potência positiva de , então para , garantindo que , mas na verdade, é ainda menor que .

Passo 5

Como a série de comparação é convergente (série p com ), e para grande, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados