Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, temos que analisar a série
. O conteúdo que precisamos aqui é sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
. Sabemos que
cresce mais rapidamente que
quando
fica grande. Isso sugere que a série
pode ser comparada com
, que é uma série p com
e sabemos que essa série converge porque
.
Passo 3
Agora, definimos duas séries para comparar:
- Nossa série original:
- Série de comparação:
Queremos verificar se
para todo
suficientemente grande.
Passo 4
Vamos comparar os termos:
Isso porque
cresce mais lentamente que qualquer potência positiva de
, então
para
, garantindo que
, mas na verdade, é ainda menor que
.
Passo 5
Como a série de comparação
é convergente (série p com
), e
para
grande, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.