Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que nos ajudam a saber se a soma de infinitos termos chega a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para entender o comportamento da série, precisamos investigar o limite desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
À medida que
cresce,
domina o denominador, então
se aproxima de zero.
Passo 4
Sabemos que
, então:
Isso significa que o termo geral da série tende a 1 quando
vai para o infinito.
Passo 5
Agora, vamos lembrar do teste da divergência (ou teste do termo geral). Esse teste diz que se o limite do termo geral
não for zero, ou seja,
, então a série
diverge.
Passo 6
Aplicando o teste da divergência à nossa série:
Como o limite não é zero, segundo o teste da divergência, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.