Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty cos (pi2 n^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que nos ajudam a saber se a soma de infinitos termos chega a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Para entender o comportamento da série, precisamos investigar o limite desse termo quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite de limn to infty cos (pi2 n^2-1) quando vai para o infinito:
À medida que cresce, domina o denominador, então se aproxima de zero.

Passo 4

Sabemos que limn to infty cos (pi2 n^2-1) = cos(0) = 1 , então:
Isso significa que o termo geral da série tende a 1 quando vai para o infinito.

Passo 5

Agora, vamos lembrar do teste da divergência (ou teste do termo geral). Esse teste diz que se o limite do termo geral não for zero, ou seja, , então a série diverge.

Passo 6

Aplicando o teste da divergência à nossa série:
limn to infty cos (pi2 n^2-1) = 1 neq 0
Como o limite não é zero, segundo o teste da divergência, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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