Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (-1)^n+11+raizn

Passo 1

O enunciado pede pra analisar a série alternante sumn=1^infty(-1)^n+1/(1+raizn). O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternantes e, de quebra, podemos verificar a convergência absoluta pra ver se é condicional ou absoluta.

Passo 2

Definimos bn=1/(1+raizn). Primeiro, notamos que bn+1=1/(1+raizn+1)<1/(1+raizn)=bn, então (bn) é decrescente. Segundo, limntoinftybn=0. Pelos critérios de Leibniz, isso basta pra concluir que a série alternante converge.

Passo 3

Pra checar convergência absoluta, consideramos sumn=1^infty|(-1)^n+1/(1+raizn)|=sumn=1^infty1/(1+raizn). Como 1/(1+raizn)>C/raizn pra alguma constante C>0, e sabemos que sum1/raizn diverge (p-série com p=1/2), a série de termos absolutos diverge. Logo não há convergência absoluta, mas sim condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (é convergente, mas não absolutamente).

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