Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (n+2)^2(n+3)!

Passo 1

Resumo do enunciado: A gente quer decidir se a série sumn=1^infty(n+2)^2(n+3)! converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas e vamos usar o teste da razão, pois há fatoriais no denominador.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos an=(n+2)^2(n+3)! e calculamos o quociente an+1/an. Temos:
an+1an = (n+3)^2(n+4)!(n+2)^2(n+3)! = (n+3)^2(n+4)!cdot(n+3)!(n+2)^2 = (n+3)^2(n+2)^2,(n+4)

Passo 3

Agora avaliamos o limite desse quociente quando ntoinfty:
limntoinfty(n+3)^2(n+2)^2,(n+4) = limntoinftyn^2(1+3/n)^2n^3(1+2/n)^2(1+4/n) = 0
Como esse limite L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Conclusão: pelo teste da razão com L<1, a série sumn=1^infty(n+2)^2(n+3)! é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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