Nos Exercicios 21-42, determine a derivada de y em relaçăo à variavel apropriada.
y=\cos ^{-1}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \cos^{-1}\bigl(x^{2}\bigr)
em relação a x. O conteúdo principal é a derivada de função trigonométrica inversa (arccos) combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, definimos
u = x^{2},
de modo que
y = \cos^{-1}(u).
Sabemos que, em geral, se y = \cos^{-1}(u) então
\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\biggr)\cdot(2x).
Como u = x^{2}, substituímos de volta:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\sqrt{1 - (x^{2})^{2}}} = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{4}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{4}}}.

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