Considere a funçāo
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array} ; P(0,0)\right.
(a) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite nào existe quando a funçāo está tendendo ao ponto indicado
(b) Determine se a função é continua no ponto indicado.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-x\,y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede (a) o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) e (b) se f é contínua em (0,0). Vamos usar técnicas de álgebra para eliminar a indeterminação e depois verificar o valor do limite.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) e dentro do domínio natural (isto é, x\ge0 e y\ge0 com \sqrt{x}-\sqrt{y}\neq0), temos indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Primeiro fatoramos o numerador:
x^{2}-x\,y = x\,(x-y).
Em seguida, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x}+\sqrt{y}:

Passo 3

f(x,y) =\frac{x\,(x-y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} =\frac{x\,(x-y)\,(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\,x-y\,} =x\,\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr).

Passo 4

Agora, para avaliar o limite (x,y)\to(0,0), observe que
\bigl|f(x,y)\bigr| =\bigl|x\,(\sqrt{x}+\sqrt{y})\bigr| \le x\,( \sqrt{x}+\sqrt{x}) =2\,x^{3/2}.
Como x^{3/2}\to0 quando x\to0, segue que f(x,y)\to0 sempre que (x,y)\to(0,0) dentro do domínio.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 6

Como f(0,0)=0 por definição e o limite é 0, a função satisfaz
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0),
logo f é contínua em (0,0).

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
(b) A função é contínua em (0,0).

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