Nos Exercicios 21-42, determine a derivada de y em relaçăo à variavel apropriada.
y=\cos ^{-1}(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \cos^{-1}\!\bigl(1/x\bigr)
em relação a x. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas e a fórmula da derivada da função inversa cosseno.

Passo 2

Definimos uma função intermediária
u = \frac{1}{x},
de modo que
y = \cos^{-1}(u).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\cos^{-1}(u)\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}},
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\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}.

Passo 5

Calculamos a derivada de u = 1/x:
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}.

Passo 6

Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\Bigr) \Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr) = \frac{1}{x^2\,\sqrt{1 - u^2}}.
Relembrando que u = 1/x, temos
1 - u^2 = 1 - \frac{1}{x^2},
portanto
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2\,\sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\,\sqrt{\tfrac{x^2 - 1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\,\bigl(\tfrac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}\bigr)} = \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2 - 1}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2 - 1}},
válido para |x|\ge1.

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