Mostre que as retas abaixo são concorrentes e encontre o seu ponto de interseção:
r:\left{ \begin{array}{l}y=2 x-3 \\z=4 x-10\end{array} \quad e \quad s: x=\frac{-y+7}{3}=\frac{-z+12}{7}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r:\;y=2x-3,\;z=4x-10
e
s:\;x=\frac{-y+7}{3}=\frac{-z+12}{7}.
Precisamos mostrar que elas se encontram num único ponto e determinar esse ponto. O conteúdo aqui é geometria analítica de retas no espaço, usando parametrizações e solução de sistemas.

Passo 2

Para r, escolhemos o parâmetro t de modo que
x = t.
Substituindo em y=2x-3 e z=4x-10, obtemos a forma paramétrica
r:\;(x,y,z) = \bigl(t,\;2t-3,\;4t-10\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para s, note que as duas razões são iguais a um mesmo parâmetro, digamos u:
x = u, \quad \frac{-y+7}{3}=u, \quad \frac{-z+12}{7}=u.
Dessas igualdades vem
y = -3u + 7, \quad z = -7u + 12,
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s:\;(x,y,z) = \bigl(u,\;-3u+7,\;-7u+12\bigr),\quad u\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para que as retas coincidam num ponto, devemos ter
(t,\;2t-3,\;4t-10) = (u,\;-3u+7,\;-7u+12).
Isso gera o sistema
\begin{cases} t = u,\\\\ 2t - 3 = -3u + 7,\\\\ 4t - 10 = -7u + 12. \end{cases}
Substituindo u=t nas duas últimas equações:
2t - 3 = -3t + 7 \;\Longrightarrow\; 5t = 10 \;\Longrightarrow\; t = 2,
4t - 10 = -7t + 12 \;\Longrightarrow\; 11t = 22 \;\Longrightarrow\; t = 2.
Como ambas dão t=2, há solução única e as retas se intersectam exatamente nesse parâmetro.

Resposta

O ponto de interseção é
(x,y,z) = (2,\;2\cdot2-3,\;4\cdot2-10) = (2,\;1,\;-2).

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