Mostre que as retas abaixo são concorrentes e encontre o seu ponto de interseção:
r:\left{ \begin{array}{l}y=-5 \\z=4 x+1\end{array} \quad e \quad s: \frac{x-1}{2}=\frac{-z+5}{3} ; y=-5\right.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as retas
r:
\displaystyle y=-5
\displaystyle z=4x+1
e
s:
\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{-z+5}{3}, \displaystyle y=-5
são concorrentes (têm ponto em comum) e encontrar esse ponto. Vamos usar geometria analítica no espaço, obtendo formas paramétricas e resolvendo o sistema resultante.

Passo 2

Para a reta r, tomamos
\lambda\in\mathbb{R} tal que
x=\lambda,\quad y=-5,\quad z=4\lambda+1.

Passo 3

Para a reta s, definimos
\mu\in\mathbb{R} com
\frac{x-1}{2}=\mu,\quad \frac{-z+5}{3}=\mu,\quad y=-5.
Isto dá as paramétricas
x=2\mu+1,\quad y=-5,\quad z=5-3\mu.

Passo 4

Se as retas se intersectam, existe \lambda e \mu tais que
as coordenadas coincidam:
\begin{cases} \lambda = 2\mu+1,\\\\ -5 = -5,\\\\ 4\lambda+1 = 5-3\mu. \end{cases}

Passo 5

Da segunda equação vemos que ela é sempre satisfeita.
Substituindo \lambda=2\mu+1 na terceira:
4(2\mu+1)+1 = 5-3\mu \;\Longrightarrow\; 8\mu+4+1=5-3\mu \;\Longrightarrow\; 11\mu=0 \;\Longrightarrow\; \mu=0.
Logo \lambda=2\cdot0+1=1.

Passo 6

Com \lambda=1 (ou \mu=0) as duas retas passam pelo mesmo ponto.
Substituindo em r:
x=1,\quad y=-5,\quad z=4\cdot1+1=5.
Portanto, as retas são concorrentes e seu ponto de interseção é este.

Resposta

(1,\,-5,\,5)

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