Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente. Além disso, precisamos determinar as assíntotas verticais dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a regra do quociente para derivar funções que são divisões de outras funções. Também vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e como encontrá-las.
Passo 2
Vamos começar aplicando a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que, se temos uma função
, a derivada dela é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos identificar as derivadas de
e
:
-
então porque a derivada de uma constante é zero. -
então, como dado na questão, .
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos reescrever
como
, então a derivada fica:
Sabemos que
, então podemos escrever a derivada como:
Isso porque
, então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais da função
. Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Como
, precisamos encontrar os valores de
onde
.
Sabemos que
quando:
Passo 7
Portanto, as assíntotas verticais de
estão nos pontos onde
, onde
é qualquer número inteiro. Isso significa que a função
tende ao infinito positivo ou negativo nesses pontos.
Resposta
A derivada de
é
. As assíntotas verticais da função
ocorrem em
, onde
é qualquer número inteiro.