Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y^2=2 x, x=0, y=0 e y=2; ao redor do eixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y^2 = 2x, x=0, y=0 e y=2 em torno do eixo y, usando o método das cascas cilíndricas. O conteúdo envolve volume por cascas e vamos usar a fórmula geral V = 2pi integrala^b (raio)(a.

Passo 2

Para aplicar o método das cascas cilíndricas em torno de um eixo vertical (o eixo y), consideramos uma tira vertical de espessura dx em x. A altura da casca é a diferença entre a curva superior e a inferior em y: yrm sup = raiz2x e yrm inf = 0. O raio da casca é a distância do eixo y até a tira, ou seja, r = x. Como a curva atinge y=2 quando x = 2, a variável x varia de 0 até 2.

Passo 3

Substituindo na fórmula de volume, obtemos
V = 2pi integral0^2 (raio)(a

Passo 4

Para calcular a integral, reescrevemos raiz2x = raiz2,x^1/2, de modo que
xraiz2x = raiz2,x^3/2
Logo
V = 2pi raiz2 integral0^2 x^3/2,dx
A antiderivada de x^3/2 é tfrac25x^5/2, portanto
integral0^2 x^3/2,dx = [25x^5/2]0^2 = 25cdot 2^5/2 = 25cdot 4raiz2 = 8raiz25

Passo 5

Substituindo esse resultado em V = 2pi raiz2 times tfrac8raiz25, notamos que raiz2cdotraiz2=2. Assim,
V = 2pi cdot 8cdot 25 = 32pi5

Resposta

O volume do sólido gerado é 32pi5.

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