Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno do eixo
, usando o método das cascas cilíndricas. O conteúdo envolve volume por cascas e vamos usar a fórmula geral
.
Passo 2
Para aplicar o método das cascas cilíndricas em torno de um eixo vertical (o eixo
), consideramos uma tira vertical de espessura
em
. A altura da casca é a diferença entre a curva superior e a inferior em
:
e
. O raio da casca é a distância do eixo
até a tira, ou seja,
. Como a curva atinge
quando
, a variável
varia de 0 até 2.
Passo 3
Substituindo na fórmula de volume, obtemos
Passo 4
Para calcular a integral, reescrevemos
, de modo que
Logo
A antiderivada de
é
, portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado em
, notamos que
. Assim,
Resposta
O volume do sólido gerado é
.