integral0^2 pi d theta2+cos ^2 theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2pidtheta2+cos^2theta. Esse é um integral de função trigonométrica racional; vamos usar a identidade de ângulo duplo para simplificar cos^2theta e depois aplicar a fórmula padrão para integrais do tipo integral0^2pidphia+bcosphi.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta=1+cos2theta2
Logo o denominador fica
2+cos^2theta=2+1+cos2theta2=5+cos2theta2
e o integrando
12+cos^2theta=25+cos2theta

Passo 3

Definindo I=integral0^2pidtheta2+cos^2theta, temos
I=2integral0^2pidtheta5+cos2theta
Fazendo a substituição phi=2theta (logo dphi=2,dtheta) obtemos
I=2integral0^2pidtheta5+cos2theta =2cdot12integral0^4pidphi5+cosphi =integral0^4pidphi5+cosphi =2integral0^2pidphi5+cosphi

Passo 4

Aplicamos a fórmula padrão
integral0^2pidphia+bcosphi=2piraiza^2-b^2, a>|b|
Aqui a=5, b=1, logo
integral0^2pidphi5+cosphi=2piraiz5^2-1^2=2piraiz24=piraiz6
Portanto
I=2cdotpiraiz6=2piraiz6=piraiz63

Resposta

piraiz63

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