Achar uma primitiva das funções seguintes :
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Passo 1
O enunciado pede uma primitiva de g(x)=sin x√(1+cos x). Estamos no tópico de integração por substituição e vamos usar a relação entre derivada de cos x e sin x, além de saber integrar potências.
Passo 2
Fazemos a troca de variável u=1+cos x. Então du=−sin x dx, ou seja, sin x dx=−du.
Passo 3
Substituindo em ∫sin x√(1+cos x) dx obtemos −∫u^{1/2} du.
Passo 4
Integramos a potência de u: −∫u^{1/2} du=−(2/3)u^{3/2}+C.
Passo 5
Voltando à variável original, a primitiva é −(2/3)(1+cos x)^{3/2}+C.
Resposta
−\frac{2}{3}(1+\cos x)^{3/2}+C