Nos Exercícios de 1 a 22, desenhe o conjunto A dado e calcule a área
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 0\right. e \left.x^{2}-x \leq y \leq-x^{2}+5 x\right\}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\;x^2 - x \le y \le -x^2 + 5x\}.
O conteúdo aqui é cálculo de área de uma região do plano delimitada por duas parábolas. Primeiro vamos desenhar (esboçar) as curvas fronteira e depois calcular a área via integral.

Passo 2

As fronteiras são as parábolas
y_{\rm inf}(x) = x^2 - x \qquad\text{e}\qquad y_{\rm sup}(x) = -\,x^2 + 5x.

Passo 3

Para descobrir onde elas se cruzam, igualamos
x^2 - x = -\,x^2 +5x \;\;\Longrightarrow\;\; 2x^2 -6x = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(x-3)=0,
logo x=0 ou x=3. Nessas abscissas temos y(0)=0 e y(3)=6. Os pontos de interseção são (0,0) e (3,6).

Passo 4

No esboço, para 0<x<3 a parábola y_{\rm sup}(x) está acima de y_{\rm inf}(x), e em x=0 e x=3 elas se encontram. A região A é esse “folho” entre as duas curvas para x de 0 a 3.

Passo 5

A área de A é dada por
\mathrm{Área} = \int_{x=0}^{3} \bigl[y_{\rm sup}(x) - y_{\rm inf}(x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{3}\bigl[(-x^2+5x) - (x^2 - x)\bigr]dx = \int_{0}^{3}(-2x^2 +6x)\,dx.Á

Passo 6

Calculando a integral, um primitivo de -2x^2+6x é
-\,\frac{2}{3}x^3 +3x^2.
Avaliando de 0 a 3:
\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot 3^3 +3\cdot 3^2\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot 0^3 +3\cdot 0^2\Bigr) = (-18 +27) - 0 = 9.

Resposta

9

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