Questão 2.
Decida, justificando, se
converge ou diverge.
Decida, justificando, se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
converge ou diverge. Como é uma série de termos positivos, podemos aplicar o Teste da Integral: comparamos a soma com o integral impróprio correspondente.
Passo 2
Definimos a função contínua, positiva e decrescente para
:
De fato, para
cresce
, logo aumenta o denominador e
é decrescente.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral estudando
Fazemos a substituição
Quando
,
. Quando
,
. Então
Esse limite é infinito, ou seja, o integral diverge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, como
diverge, a série
também diverge. Como acrescentar ou retirar um número finito de termos (o caso
) não altera o comportamento no infinito, concluímos que a série original diverge.
Resposta
A série diverge.