Questão 2.
Decida, justificando, se \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(1+\ln (n))} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\bigl(1+\ln n\bigr)}
converge ou diverge. Como é uma série de termos positivos, podemos aplicar o Teste da Integral: comparamos a soma com o integral impróprio correspondente.

Passo 2

Definimos a função contínua, positiva e decrescente para x\ge2:
f(x)=\frac{1}{x\bigl(1+\ln x\bigr)}.
De fato, para x>1 cresce \ln x, logo aumenta o denominador e f(x) é decrescente.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral estudando
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\bigl(1+\ln x\bigr)}.
Fazemos a substituição
u=1+\ln x, \quad du=\frac{dx}{x}.
Quando x=2, u=1+\ln2. Quando x\to\infty, u\to\infty. Então
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\bigl(1+\ln x\bigr)} =\int_{1+\ln2}^{\infty}\frac{du}{u} =\Bigl[\ln u\Bigr]_{1+\ln2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln U - \ln\bigl(1+\ln2\bigr).
Esse limite é infinito, ou seja, o integral diverge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, como
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx
diverge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}f(n)
também diverge. Como acrescentar ou retirar um número finito de termos (o caso n=1) não altera o comportamento no infinito, concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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