Quatro vetores, A, B, C e D tem um ponto comum e são dados por;
A=2 a x-k a y-a z ; B=k a x+a y-2 a z ; C=a x+k a y+2 a z e D=k^2 a x+k a y+a z
Determinar o valor de k se:
Se D for perpendicular simultaneamente a A e a B . (1,0 pt)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores com origem num ponto comum:
A=(2,,-k,,-1), B=(k,,1,,-2), C=(1,,k,,2), D=(k^2,,k,,1)
em coordenadas no mesmo sistema. Como queremos que D seja perpendicular a A e a B, usaremos a condição de produto escalar nulo:
DcdotA=0 e DcdotB=0

Passo 2

Calculamos o produto escalar DcdotA. Usando as componentes:
DcdotA = (k^2)(2) + (k)(-k) + (1)(-1) = 2k^2 - k^2 - 1 = k^2 - 1
A condição DcdotA=0 gera
k^2 - 1 = 0

Passo 3

Da equação k^2-1=0 obtemos
k=pm 1

Passo 4

Agora calculamos DcdotB. Temos
DcdotB = (k^2)(k) + (k)(1) + (1)(-2) = k^3 + k - 2
Impondo DcdotB=0 vem
k^3 + k - 2 = 0
Substituindo k=1 e k=-1:
  • Para k=1: 1^3+1-2=0.
  • Para k=-1: (-1)^3+(-1)-2=-4neq0.

Passo 5

A única solução que satisfaz ambas as condições é
k = 1

Resposta

k = 1

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