Nos Exercícios de la 22, determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty(12^n+13^n)

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se
sumn=1^inftyl(12^n+13^nr)
converge e, caso positivo, calcular a soma. Aqui vamos usar que séries geométricas com razão |r|<1 convergem e têm soma
sumn=1^infty r^n = r1 - r

Passo 2

Devido à linearidade da soma de séries, podemos separar:
sumn=1^infty l(12^n+13^nr) = sumn=1^infty 12^n + sumn=1^infty 13^n
Cada uma é uma série geométrica com razão r1=tfrac12 e r2=tfrac13, ambas com |ri|<1, então cada uma converge.

Passo 3

Para r=tfrac12, aplicando
sumn=1^infty r^n = r1 - r,
obtemos
sumn=1^infty 12^n = tfrac121 - tfrac12 = 1

Passo 4

Para r=tfrac13, de modo análogo,
sumn=1^infty 13^n = tfrac131 - tfrac13 = 12

Passo 5

Somando os resultados das duas séries,
1 + 12 = 32

Resposta

A série converge e sua soma é 32.

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