Questão 5: (12 pts) Calcule a integral
, onde T é a região delimitada pelo elipsóide
e entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é a região limitada pelo elipsóide
e pelos planos
e
.
O conteúdo principal é usar integração por camadas (fatias horizontais), encontrando a área da seção transversal elíptica em cada altura .
O conteúdo principal é usar integração por camadas (fatias horizontais), encontrando a área da seção transversal elíptica em cada altura
Passo 2
Para um valor fixo de
com
, a seção transversal é dada por
Isso é uma elipse de semi-eixos
Portanto a área dessa elipse é
Passo 3
Usando fatias horizontais, a integral fica
Passo 4
Calcule separadamente:
Então
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