Questão 5: (12 pts) Calcule a integral I=integral triplaT z d V, onde T é a região delimitada pelo elipsóide x^24+y^29+z^24=1 e entre os planos z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
I = integral triplaT z,dV
onde T é a região limitada pelo elipsóide
x^24 + y^29 + z^24 = 1
e pelos planos z=0 e z=1.
O conteúdo principal é usar integração por camadas (fatias horizontais), encontrando a área da seção transversal elíptica em cada altura z.

Passo 2

Para um valor fixo de z com 0<= z<=1, a seção transversal é dada por
x^24 + y^29 ;<=; 1 - z^24
Isso é uma elipse de semi-eixos
ax = 2raiz1 - z^24 e ay = 3raiz1 - z^24
Portanto a área dessa elipse é
A(z) = pi,ax,ay = pi cdot 2raiz1 - z^24 cdot 3raiz1 - z^24 = 6pil(1 - z^24r)

Passo 3

Usando fatias horizontais, a integral fica
I ;=; integralz=0^1 z ;A(z);dz = integral0^1 z ;gl[6pil(1 - z^24r)gr]dz = 6pi integral0^1l(z - z^34r)dz

Passo 4

Calcule separadamente:
integral0^1 z,dz = 12, integral0^1 z^3,dz = 14
Então
integral0^1l(z - z^34r)dz = 12 - 14cdot14 = 12 - 116 = 816 - 116 = 716
Logo
I = 6pi cdot 716 = 42pi16 = 21pi8

Resposta

I = 21pi8

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