Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais separáveis.
2 y(x^2+1) d y=x d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2,y,(x^2+1),dy ;=; x,dx
e pede para resolvê-la por separação de variáveis. Vamos usar o método de equações diferenciais separáveis, que consiste em agrupar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por (x^2+1) e por 2y. Assim obtemos
2,y,dy ;=;xx^2+1,dx
onde o lado esquerdo envolve apenas y e o direito apenas x.

Passo 3

Integre os dois lados:
integral 2,y,dy ;=;integral xx^2+1,dx
No lado esquerdo,
integral 2,y,dy = y^2
No lado direito, faça a substituição u = x^2+1, du = 2x,dx, daí
integral xx^2+1,dx = 12integral duu = 12lnl|ur| = 12lnl(x^2+1r)

Passo 4

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos a solução implícita
y^2 = 12,lnl(x^2+1r) + C

Passo 5

Se quisermos a forma explícita, basta isolar y:
y(x) = pmraiz12,lnl(x^2+1r) + C

Resposta

y^2 = 12lnl(x^2+1r) + C
ou equivalentemente
y(x) = pmraiz12lnl(x^2+1r) + C

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