Nos Exercícios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty cosech n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
sumn=1^inftycosech(n)
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são séries de termos positivos e testes de comparação ou de raiz/razão para verificar convergência.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em função de exponenciais. Lembrando que
cosech(x)=1/sinh(x) e
sinh(x)=e^x-e^-x2,
temos
cosech(n) =1sinh(n) =2e^n-e^-n
Para n grande, e^-n fica muito pequeno, então
cosech(n)approx2e^-n.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação assintótica com a série geométrica sum e^-n, que é convergente porque tem razão r=e^-1<1. Calculamos o limite
limntoinftycosech(n)e^-n =limntoinfty2/(e^n-e^-n)e^-n =limntoinfty2e^-n1-e^-2n =2
Como este limite é um número finito e não nulo, a série sumcosech(n) e a série sum e^-n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Da convergência de sum e^-n e pelo teste de comparação limite, concluímos que
sumn=1^inftycosech(n)
também é convergente.

Resposta

A série sumn=1^inftycosech(n) é convergente.

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