Nos Exercícios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são séries de termos positivos e testes de comparação ou de raiz/razão para verificar convergência.
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são séries de termos positivos e testes de comparação ou de raiz/razão para verificar convergência.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral em função de exponenciais. Lembrando que
e
temos
Para
grande,
fica muito pequeno, então
.
Passo 3
Aplicamos o teste de comparação assintótica com a série geométrica
, que é convergente porque tem razão
. Calculamos o limite
Como este limite é um número finito e não nulo, a série
e a série
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
Da convergência de
e pelo teste de comparação limite, concluímos que
também é convergente.
também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.