Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
f(x)=\frac{5 x+7}{2 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função racional
f(x)=\frac{5x+7}{2x-2}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é uma razão de duas funções polinomiais; o denominador (2x-2) não pode ser zero, logo o domínio natural é x\neq1.
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Conceito rápido e a regra que vamos usar (sem medo, é só aplicar): a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Para uma razão de duas funções usa-se a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v, respectivamente.
    Explicando de forma bem simples: derive o numerador e multiplique pelo denominador, subtraia o numerador vezes a derivada do denominador, e divida pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identificar u e v na função dada e calcular suas derivadas:
u(x)=5x+7,\qquad v(x)=2x-2.
Derivando termo a termo (a derivada de ax+b é a):
u'(x)=5,\qquad v'(x)=2.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente: substituir u, v, u' e v' na fórmula
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{5(2x-2)-(5x+7)\cdot 2}{(2x-2)^{2}}.
Agora vamos desenvolver o numerador passo a passo (fazendo as contas de cabeça, sem calculadora):
5(2x-2)=10x-10,
(5x+7)\cdot 2=10x+14.
Subtraindo:
(10x-10)-(10x+14)=10x-10-10x-14=-24.
Portanto, neste ponto temos
f'(x)=\frac{-24}{(2x-2)^{2}}.

Passo 5

Simplificação algébrica para deixar a resposta mais enxuta (passo a passo):
  • Observe que 2x-2=2(x-1).
  • Então (2x-2)^{2}=[2(x-1)]^{2}=4(x-1)^{2}.
    Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\frac{-24}{4(x-1)^{2}}.
Fazendo a divisão -24\div4=-6, obtemos a forma simplificada final (veja a seção de resposta para a expressão final isolada).

Passo 6

Interpretação curta e dica para a prova:
  • A derivada está definida para todo x\neq1.
  • O sinal negativo mostra que a função é decrescente em cada intervalo do domínio (em qualquer x válido, f'(x)<0).
  • Exemplo rápido de uso: para obter a inclinação da reta tangente em x=3, calcular f'(3) substituindo x=3 na expressão final (faça isso na prova se pedirem valor numérico).

Resposta

f'(x)=-\frac{6}{(x-1)^{2}}

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