Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função racional
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é uma razão de duas funções polinomiais; o denominador
não pode ser zero, logo o domínio natural é . - O que se pede: calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Conceito rápido e a regra que vamos usar (sem medo, é só aplicar): a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Para uma razão de duas funções usa-se a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador; -
e são as derivadas de e , respectivamente.
Explicando de forma bem simples: derive o numerador e multiplique pelo denominador, subtraia o numerador vezes a derivada do denominador, e divida pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identificar
e
na função dada e calcular suas derivadas:
Derivando termo a termo (a derivada de
é
):
Passo 4
Aplicando a regra do quociente: substituir
,
,
e
na fórmula
Agora vamos desenvolver o numerador passo a passo (fazendo as contas de cabeça, sem calculadora):
Subtraindo:
Portanto, neste ponto temos
Passo 5
Simplificação algébrica para deixar a resposta mais enxuta (passo a passo):
- Observe que
. - Então
.
Substituindo na expressão de:
Fazendo a divisão
, obtemos a forma simplificada final (veja a seção de resposta para a expressão final isolada).
Passo 6
Interpretação curta e dica para a prova:
- A derivada está definida para todo
. - O sinal negativo mostra que a função é decrescente em cada intervalo do domínio (em qualquer
válido, ). - Exemplo rápido de uso: para obter a inclinação da reta tangente em
, calcular substituindo na expressão final (faça isso na prova se pedirem valor numérico).