Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é uma razão de duas funções polinomiais: numerador
e denominador . - O denominador não pode ser zero, logo
, ou seja . A derivada só pode ser calculada (e existe) para . - Queremos
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Qual método usar? Aqui o método mais direto e simples é a regra do quociente, porque
está dada explicitamente como uma fração
. A regra do quociente é uma fórmula padrão que evita reescrever a função. A regra do quociente diz que, se
então
Explicando cada termo:
é o numerador,
é o denominador;
e
são as derivadas de
e
. O numerador da regra combina as duas derivadas (primeiro vezes segundo menos primeiro vezes derivada do segundo) e o denominador é o quadrado de
. Intuição rápida: é a versão ordenada de produto+chain para frações.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
Derivando termos linha a linha (derivada de
é
):
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Fazer as contas do numerador passo a passo:
Agora subtrair:
Portanto o numerador é constante
.
Passo 6
Substituindo a simplificação no quociente obtemos a forma final simplificada da derivada:
Lembre-se: essa expressão só vale para
, pois aí o denominador original (e o denominador da derivada) seria zero.
Passo 7
Interpretação útil (rápida): o numerador é negativo e o denominador
é sempre positivo para
. Isso significa que
em todo o domínio da função — a função é estritamente decrescente em cada intervalo onde está definida. Vai te ajudar a responder questões sobre monotonicidade na prova.