Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
f(x)=\frac{2 x+4}{3 x-1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{2x+4}{3x-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma razão de duas funções polinomiais: numerador 2x+4 e denominador 3x-1.
  • O denominador não pode ser zero, logo 3x-1\neq0, ou seja x\neq\frac{1}{3}. A derivada só pode ser calculada (e existe) para x\neq\frac{1}{3}.
  • Queremos f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Qual método usar? Aqui o método mais direto e simples é a regra do quociente, porque f está dada explicitamente como uma fração \dfrac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente é uma fórmula padrão que evita reescrever a função. A regra do quociente diz que, se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando cada termo: u(x) é o numerador, v(x) é o denominador; u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. O numerador da regra combina as duas derivadas (primeiro vezes segundo menos primeiro vezes derivada do segundo) e o denominador é o quadrado de v. Intuição rápida: é a versão ordenada de produto+chain para frações.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas:
u(x)=2x+4,\qquad v(x)=3x-1.
Derivando termos linha a linha (derivada de ax+b é a):
u'(x)=2,\qquad v'(x)=3.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2(3x-1)-(2x+4)\cdot 3}{(3x-1)^{2}}.

Passo 5

Fazer as contas do numerador passo a passo:
2(3x-1)=6x-2,
(2x+4)\cdot 3=6x+12.
Agora subtrair:
6x-2-(6x+12)=6x-2-6x-12=-14.
Portanto o numerador é constante -14.

Passo 6

Substituindo a simplificação no quociente obtemos a forma final simplificada da derivada:
f'(x)=\frac{-14}{(3x-1)^{2}}.
Lembre-se: essa expressão só vale para x\neq\frac{1}{3}, pois aí o denominador original (e o denominador da derivada) seria zero.

Passo 7

Interpretação útil (rápida): o numerador é negativo e o denominador (3x-1)^{2} é sempre positivo para x\neq\frac{1}{3}. Isso significa que f'(x)<0 em todo o domínio da função — a função é estritamente decrescente em cada intervalo onde está definida. Vai te ajudar a responder questões sobre monotonicidade na prova.

Resposta

f'(x)=\dfrac{-14}{(3x-1)^{2}}

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