Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}}
e pede para encontrar a derivada f'(x).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: 4-x.
  • Denominador: 5-x^{2}.
  • A derivada deve ser feita em termos de x (expressão simbólica).
  • Note que a função não está definida quando 5-x^{2}=0, ou seja em x=\pm\sqrt{5}; isso aparece depois como pontos onde a derivada também não existe.

Passo 2

Qual método usar e por quê — explicação didática da regra que aplicarei.
Aqui temos uma função dada como um quociente de duas funções (uma no numerador e outra no denominador). A regra apropriada e direta é a regra do quociente. Vou explicar essa regra como se fosse uma mini-aula:
Regra do quociente (fórmula): se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
O que cada coisa significa:
  • u(x) é a função do numerador;
  • v(x) é a função do denominador;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
Breve ideia de por que funciona (sem formalidade pesada): escrever f(x)=u(x)\cdot [v(x)]^{-1} e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia para [v(x)]^{-1} leva exatamente à fórmula acima.
Vou aplicar essa regra passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Identificar u, v e calcular u', v'.
Aqui no problema:
u(x)=4-x,\qquad v(x)=5-x^{2}.
Derivadas elementares:
  • A derivada de uma constante é zero e a derivada de -x é -1. Então
u'(x)=-1.
  • A derivada de 5 é 0; a derivada de -x^{2} é -2x. Assim
v'(x)=-2x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v'.
Usando
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}},
substituímos as funções encontradas:
f'(x)=\frac{(-1)\,(5-x^{2})-(4-x)\,(-2x)}{(5-x^{2})^{2}}.

Passo 5

Simplificar cuidadosamente o numerador (expandir, agrupar termos, reduzir).
Expandindo termo a termo:
(-1)\,(5-x^{2}) = -5 + x^{2},
(4-x)\,(-2x) = -2x(4-x) = -8x + 2x^{2}.
Como no numerador temos uma subtração desse produto com sinal negativo:
(-1)(5-x^{2}) - (4-x)(-2x) = (-5 + x^{2}) - (-8x + 2x^{2}).
Subtraindo, trocando sinais dentro do último parêntese:
(-5 + x^{2}) - (-8x + 2x^{2}) = -5 + x^{2} + 8x - 2x^{2}.
Agora agrupar termos semelhantes (potências de x):
x^{2} - 2x^{2} = -x^{2},
então o numerador fica
- x^{2} + 8x - 5.
Portanto a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{-x^{2}+8x-5}{(5-x^{2})^{2}}.

Passo 6

Observações finais e formas alternativas (úteis para a prova):
  • Poderíamos escrever o numerador com sinal fatorado:
- x^{2} + 8x - 5 = -\bigl(x^{2}-8x+5\bigr),
então uma forma alternativa é
f'(x)=-\frac{x^{2}-8x+5}{(5-x^{2})^{2}}.
  • Note que (5-x^{2})^{2}=(x^{2}-5)^{2}, então também se pode escrever o denominador como (x^{2}-5)^{2} se preferir; cuidado apenas para não alterar sinais incorretamente.
  • A derivada não existe em x=\pm\sqrt{5} porque aí o denominador original é zero e também o denominador de f'(x) é zero.
Força aí — você já veria esse tipo de conta na prova: identificar u e v, calcular u' e v' e aplicar a fórmula do quociente; pratique algumas vezes para automatizar!

Resposta

f'(x)=\frac{-x^{2}+8x-5}{(5-x^{2})^{2}}

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