Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para encontrar a derivada
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A derivada deve ser feita em termos de
(expressão simbólica). - Note que a função não está definida quando
, ou seja em ; isso aparece depois como pontos onde a derivada também não existe.
Passo 2
Qual método usar e por quê — explicação didática da regra que aplicarei.
Aqui temos uma função dada como um quociente de duas funções (uma no numerador e outra no denominador). A regra apropriada e direta é a regra do quociente. Vou explicar essa regra como se fosse uma mini-aula:
Aqui temos uma função dada como um quociente de duas funções (uma no numerador e outra no denominador). A regra apropriada e direta é a regra do quociente. Vou explicar essa regra como se fosse uma mini-aula:
Regra do quociente (fórmula): se
com
e
diferenciáveis e
, então
O que cada coisa significa:
-
é a função do numerador; -
é a função do denominador; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Breve ideia de por que funciona (sem formalidade pesada): escrever
e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia para
leva exatamente à fórmula acima.
Vou aplicar essa regra passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Identificar
,
e calcular
,
.
Aqui no problema:
Derivadas elementares:
- A derivada de uma constante é zero e a derivada de
é . Então
- A derivada de
é ; a derivada de é . Assim
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
.
Usando
substituímos as funções encontradas:
Passo 5
Simplificar cuidadosamente o numerador (expandir, agrupar termos, reduzir).
Expandindo termo a termo:
Como no numerador temos uma subtração desse produto com sinal negativo:
Subtraindo, trocando sinais dentro do último parêntese:
Agora agrupar termos semelhantes (potências de
):
então o numerador fica
Portanto a derivada simplificada é
Passo 6
Observações finais e formas alternativas (úteis para a prova):
- Poderíamos escrever o numerador com sinal fatorado:
então uma forma alternativa é
- Note que
, então também se pode escrever o denominador como se preferir; cuidado apenas para não alterar sinais incorretamente. - A derivada não existe em
porque aí o denominador original é zero e também o denominador de é zero.
Força aí — você já veria esse tipo de conta na prova: identificar
e
, calcular
e
e aplicar a fórmula do quociente; pratique algumas vezes para automatizar!