Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
G(x)=|2 x-3|-4
(a) \lim _{x \rightarrow 3 / 2^{+}} G(x);
(b) \lim _{x \rightarrow 3 / 2^{-}} G(x);
(c) \lim _{x \rightarrow 3 / 2} G(x)

Passo 1

O enunciado dá a função G(x)=|2x-3|-4 e pede três limites em torno do ponto x=\dfrac{3}{2}. As perguntas são:
(a) calcular \lim_{x\to 3/2^{+}} G(x);
(b) calcular \lim_{x\to 3/2^{-}} G(x);
(c) calcular \lim_{x\to 3/2} G(x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é escrita com valor absoluto: G(x)=|2x-3|-4.
  • O ponto onde o argumento do valor absoluto se anula é 2x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}. Esse ponto é candidato a causar mudança de expressão da função (ponto “vértice” do valor absoluto).
  • É útil conhecer o valor da função exatamente em x=\dfrac{3}{2}: G\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=|0|-4=-4.

Passo 2

Entender o valor absoluto por partes (a ideia e a fórmula).
  • Por definição, para qualquer número u\), \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
  • Aqui u=2x-3\]. O sinal de \(u muda exatamente quando 2x-3=0, ou seja, em x=\dfrac{3}{2}. Portanto a função G pode ser escrita de forma equivalente por partes, separando os casos x<\dfrac{3}{2} e x>\dfrac{3}{2}. Isso é padrão para lidar com limites unilaterais em funções com valor absoluto.]

Passo 3

Obter a expressão da função em cada lado do ponto x=\dfrac{3}{2}.
  • Para x>\dfrac{3}{2}, tem-se 2x-3>0, logo |2x-3|=2x-3. Assim
G(x)=2x-3-4=2x-7\qquad\text{(para }x>\tfrac{3}{2}\text{).}
  • Para x<\dfrac{3}{2}, tem-se 2x-3<0, logo |2x-3|=-(2x-3)=3-2x. Assim
G(x)=3-2x-4=-2x-1\qquad\text{(para }x<\tfrac{3}{2}\text{).}
Essas duas expressões são retas (linhas) com coeficientes angulares diferentes que se encontram no ponto x=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 3/2^{+}} G(x).
  • Ao aproximar x de \tfrac{3}{2} vindo pela direita usamos a expressão para x>\tfrac{3}{2}, que é G(x)=2x-7.
  • Substituindo x=\tfrac{3}{2} na expressão (limite de uma função linear é dado pela substituição direta):
\lim_{x\to 3/2^{+}} G(x)=\lim_{x\to 3/2^{+}} (2x-7)=2\cdot\tfrac{3}{2}-7=3-7=-4.

Passo 5

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 3/2^{-}} G(x).
  • Ao aproximar x de \tfrac{3}{2} vindo pela esquerda usamos G(x)=-2x-1.
  • Substituindo x=\tfrac{3}{2}:
\lim_{x\to 3/2^{-}} G(x)=\lim_{x\to 3/2^{-}} (-2x-1)=-2\cdot\tfrac{3}{2}-1=-3-1=-4.
  • Como ambos os limites laterais valem -4, a existência do limite bilateral está garantida.

Passo 6

Concluir o limite bilateral e comentar sobre continuidade; esboço do gráfico.
  • Como \lim_{x\to 3/2^{+}} G(x)=-4 e \lim_{x\to 3/2^{-}} G(x)=-4, segue que
\lim_{x\to 3/2} G(x)=-4.
  • O valor da função em x=\tfrac{3}{2} é G\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-4, portanto a função é contínua em x=\tfrac{3}{2}.
  • Para esboçar o gráfico: é um “V” com vértice em \bigl(\tfrac{3}{2},-4\bigr). À esquerda do vértice a reta tem declive -2 e expressão G(x)=-2x-1; à direita do vértice a reta tem declive +2 e expressão G(x)=2x-7. Isso confirma visualmente que as duas ramificações se encontram no mesmo ponto e que não há salto.

Resposta

(a) -4
(b) -4
(c) -4

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