Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
(a)
;
(b)
;
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três limites em torno do ponto
. As perguntas são:
(a) calcular ;
(b) calcular ;
(c) calcular .
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular
Informações relevantes dadas:
- A função é escrita com valor absoluto:
. - O ponto onde o argumento do valor absoluto se anula é
. Esse ponto é candidato a causar mudança de expressão da função (ponto “vértice” do valor absoluto). - É útil conhecer o valor da função exatamente em
: .
Passo 2
Entender o valor absoluto por partes (a ideia e a fórmula).
- Por definição, para qualquer número
- Aqui
muda exatamente quando
, ou seja, em . Portanto a função pode ser escrita de forma equivalente por partes, separando os casos e . Isso é padrão para lidar com limites unilaterais em funções com valor absoluto.]
Passo 3
Obter a expressão da função em cada lado do ponto
.
- Para
, tem-se , logo . Assim
- Para
, tem-se , logo . Assim
Essas duas expressões são retas (linhas) com coeficientes angulares diferentes que se encontram no ponto
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita
.
- Ao aproximar
de vindo pela direita usamos a expressão para , que é . - Substituindo
na expressão (limite de uma função linear é dado pela substituição direta):
Passo 5
Calcular o limite pela esquerda
.
- Ao aproximar
de vindo pela esquerda usamos . - Substituindo
:
- Como ambos os limites laterais valem
, a existência do limite bilateral está garantida.
Passo 6
Concluir o limite bilateral e comentar sobre continuidade; esboço do gráfico.
- Como
e , segue que
- O valor da função em
é , portanto a função é contínua em . - Para esboçar o gráfico: é um “V” com vértice em
. À esquerda do vértice a reta tem declive e expressão ; à direita do vértice a reta tem declive e expressão . Isso confirma visualmente que as duas ramificações se encontram no mesmo ponto e que não há salto.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)