A pergunta é: calcular \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x) (limite por a esquerda em x=2). Vou listar as informações relevantes dadas pelo enunciado:
Para x imediatamente à esquerda de 2 (isto é, x<2 mas muito próximo de 2) a definição usada é a segunda peça: f(x)=\sqrt{4-x^{2}}, porque esses x satisfazem -2\leqslant x\leqslant 2.
A função \sqrt{4-x^{2}} está bem definida para |x|\leqslant 2 (o radicando é \geqslant 0).]
Passo 2
Identificar qual expressão usar ao aproximar x por valores menores que 2. Como dito, ao aproximar 2 pela esquerda tomamos x com -2\leqslant x<2, logo
Explicar por que podemos simplesmente substituir x=2 na expressão \sqrt{4-x^{2}}. A função g(t)=\sqrt{t} é contínua para t\geqslant 0. A função h(x)=4-x^{2} é contínua em todo \mathbb{R}. A composição x\mapsto \sqrt{4-x^{2}} é então contínua em todos os x onde 4-x^{2}\geqslant 0, isto é, para |x|\leqslant 2. Em particular é contínua em x=2 pela esquerda. Pelo fato de ser contínua, o limite quando x\to 2 (tanto pela esquerda quanto pelo interior do domínio) é o valor da função no ponto:
\lim_{x\to 2^-} \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-2^{2}}.
Passo 4
Calcular o valor numérico:
\sqrt{4-2^{2}}=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0.
Intuitivamente, no gráfico a parte \sqrt{4-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem, e em x=2 essa semicircunferência atinge a altura 0. Aproximando por valores à esquerda a altura tende a 0.
Passo 5
Observação final e contexto para prova: embora o limite pela esquerda seja 0, o limite pela direita em x=2 seria -2 (porque para x>2 temos f(x)=-2); isso significa que a função tem descontinuidade do tipo salto em x=2. Mas para a pergunta específica do enunciado, o limite pela esquerda existe e é 0.