Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(a) \quad X . Y=Y . X

Passo 1

O enunciado nos dá a função booleana e pede para simplificá‑la usando teoremas:
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot\bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z
Também está indicado (a) a propriedade
X\cdot Y = Y\cdot X.
O que preciso fazer: transformar a expressão dada em uma forma mais simples, aplicando identidades de álgebra booleana passo a passo. Vou listar as informações relevantes que eu extraí do enunciado:
  • A expressão contém operadores: negação ( \bar{\cdot}), conjunção (AND: \cdot ou \odot), disjunção (OR: +) e XOR ( \oplus).
  • A propriedade de comutatividade do AND ( X\cdot Y=Y\cdot X) pode ser usada.
  • Objetivo: simplificar \mathrm{F} de forma didática, mostrando teoremas usados em cada passo.

Passo 2

Primeiro passo operacional: escrever \oplus e \odot em termos básicos. A identidade do XOR é
X\oplus W = X\cdot\bar{W} + \bar{X}\cdot W.
E W\odot Z é apenas W\cdot Z. Substituindo esses na expressão original obtemos a forma totalmente expandida (cada produto escrito com \cdot):
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z + \bigl(X\cdot\bar{W} + \bar{X}\cdot W\bigr) + X\cdot\bar{Y} + W\cdot Z + \bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z.

Passo 3

Agora vou agrupar todos os termos (colocando-os em soma de produtos) para ficar claro o que temos:
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z + X\cdot\bar{W} + \bar{X}\cdot W + X\cdot\bar{Y} + W\cdot Z + \bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z.
Explicando uma técnica importante (absorção): se eu tenho A + A\cdot B, pelo teorema da absorção vale
A + A\cdot B = A.
Aqui posso identificar A=\bar{X}\cdot Z e B=Y\cdot\bar{W}, porque o termo \bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z é exatamente (\bar{X}\cdot Z)\cdot(Y\cdot\bar{W}). Pela absorção, esse termo é absorvido por \bar{X}\cdot Z. Logo posso eliminar o último termo. Após essa eliminação:
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z + X\cdot\bar{W} + \bar{X}\cdot W + X\cdot\bar{Y} + W\cdot Z.

Passo 4

Vou reorganizar para ver padrões úteis:
\mathrm{F}=(\bar{X}\cdot Z + W\cdot Z) + (X\cdot\bar{W} + \bar{X}\cdot W) + X\cdot\bar{Y}.
Observe as duas somas marcadas:
  • \bar{X}\cdot Z + W\cdot Z = Z\cdot(\bar{X} + W) (distributividade).
  • X\cdot\bar{W} + \bar{X}\cdot W é justamente X\oplus W (definição de XOR que reaparece).
Portanto
\mathrm{F} = Z\cdot(\bar{X} + W) + (X\oplus W) + X\cdot\bar{Y}.

Passo 5

Quero mostrar que a expressão acima é equivalente a uma forma ainda mais curta envolvendo Z sozinho. Uma observação útil: se eu conseguir garantir que o termo X\cdot Z já esteja implícito pelos termos que tenho, então
Z\cdot(\bar{X}+W) + X\cdot Z = Z\cdot\bigl(\bar{X}+W+X\bigr)=Z,
pois \bar{X}+X=1. Portanto vale a pena checar se X\cdot Z está coberto pelos termos já presentes. Escrevo
X\cdot Z = X\cdot Z\cdot\bar{W} + X\cdot Z\cdot W.
Agora note:
  • X\cdot Z\cdot\bar{W} é um produto que está contido em X\cdot\bar{W} (pois X\cdot\bar{W} + X\cdot\bar{W}\cdot Z = X\cdot\bar{W} pela absorção).
  • X\cdot Z\cdot W é um produto contido em W\cdot Z (pois W\cdot Z + X\cdot W\cdot Z = W\cdot Z).
Logo ambos X\cdot Z\cdot\bar{W} e X\cdot Z\cdot W já estão cobertos pelos termos X\cdot\bar{W} e W\cdot Z respectivamente. Portanto
X\cdot Z \le X\cdot\bar{W} + W\cdot Z,
ou seja, X\cdot Z é implicado pelos termos já presentes. Consequentemente, ao considerar o conjunto \bar{X}\cdot Z + W\cdot Z + X\cdot\bar{W} podemos acrescentar X\cdot Z sem alterar a expressão; com isso
\bar{X}\cdot Z + W\cdot Z + X\cdot\bar{W} \quad\text{gera}\quad \bar{X}\cdot Z + X\cdot Z + W\cdot Z = Z.

Passo 6

Usando a observação do passo anterior, volto à expressão do Passo 4:
\mathrm{F}=Z\cdot(\bar{X}+W) + (X\oplus W) + X\cdot\bar{Y}.
Como mostramos que X\cdot Z já está implícito pelos termos X\cdot\bar{W} e W\cdot Z, concluímos que Z\cdot(\bar{X}+W) junto com esses termos equivale a Z. Assim podemos substituir a parte Z\cdot(\bar{X}+W) por Z. Logo obtemos a forma simplificada:
\mathrm{F}=Z + (X\oplus W) + X\cdot\bar{Y}.

Resposta

\mathrm{F}=Z + (X\oplus W) + X\cdot\bar{Y}

Exercícios relacionados