Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá a função booleana e pede para simplificá‑la usando teoremas:
Também está indicado (a) a propriedade
O que preciso fazer: transformar a expressão dada em uma forma mais simples, aplicando identidades de álgebra booleana passo a passo. Vou listar as informações relevantes que eu extraí do enunciado:
- A expressão contém operadores: negação (
), conjunção (AND: ou ), disjunção (OR: ) e XOR ( ). - A propriedade de comutatividade do AND (
) pode ser usada. - Objetivo: simplificar
de forma didática, mostrando teoremas usados em cada passo.
Passo 2
Primeiro passo operacional: escrever
e
em termos básicos. A identidade do XOR é
E
é apenas
. Substituindo esses na expressão original obtemos a forma totalmente expandida (cada produto escrito com
):
Passo 3
Agora vou agrupar todos os termos (colocando-os em soma de produtos) para ficar claro o que temos:
Explicando uma técnica importante (absorção): se eu tenho
, pelo teorema da absorção vale
Aqui posso identificar
e
, porque o termo
é exatamente
. Pela absorção, esse termo é absorvido por
. Logo posso eliminar o último termo. Após essa eliminação:
Passo 4
Vou reorganizar para ver padrões úteis:
Observe as duas somas marcadas:
-
(distributividade). -
é justamente (definição de XOR que reaparece).
Portanto
Passo 5
Quero mostrar que a expressão acima é equivalente a uma forma ainda mais curta envolvendo
sozinho. Uma observação útil: se eu conseguir garantir que o termo
já esteja implícito pelos termos que tenho, então
pois
. Portanto vale a pena checar se
está coberto pelos termos já presentes. Escrevo
Agora note:
-
é um produto que está contido em (pois pela absorção). -
é um produto contido em (pois ).
Logo ambos
e
já estão cobertos pelos termos
e
respectivamente. Portanto
ou seja,
é implicado pelos termos já presentes. Consequentemente, ao considerar o conjunto
podemos acrescentar
sem alterar a expressão; com isso
Passo 6
Usando a observação do passo anterior, volto à expressão do Passo 4:
Como mostramos que
já está implícito pelos termos
e
, concluímos que
junto com esses termos equivale a
. Assim podemos substituir a parte
por
. Logo obtemos a forma simplificada: