Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(b) X Y+\bar{X} Z=(X+Y)(\bar{X}+Y)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • Foi dada a função booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X\oplus W)+X\cdot\bar{Y}+(W\odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z.
  • O enunciado também traz o item (b):
X Y+\bar{X} Z=(X+Y)(\bar{X}+Y).
Perguntas que vou responder:
  1. Simplificar \mathrm{F} usando teoremas de álgebra booleana.
  2. Analisar (b): verificar se a igualdade é verdadeira ou falsa (e justificar).
Informações dadas úteis:
  • No enunciado usa-se \oplus (que vou interpretar como XOR: A\oplus B = A\bar{B}+\bar{A}B).
  • O símbolo \odot aqui vou interpretar como conjunção lógica (AND), isto é W\odot Z = W\cdot Z.
  • Os operadores usuais: \cdot é AND, + é OR, \bar{\;} é NOT.

Passo 2

Revisão rápida (com exemplos) das leis que vou usar — explicação didática e sem pular etapas.
  • Identidades básicas:
    A+0=A,\qquad A+1=1,\qquad A\cdot 1=A,\qquad A\cdot 0=0.
    Significado: OR com 0 não muda, OR com 1 vira 1; AND com 1 não muda, AND com 0 vira 0.
  • Complemento:
    A+\bar{A}=1,\qquad A\cdot\bar{A}=0.
    Isso é óbvio: uma variável ou seu complemento cobrem todos os casos.
  • Idempotência:
    A+A=A,\qquad A\cdot A=A.
  • Comutatividade e associatividade (podemos reordenar e agrupar termos).
  • Distributiva:
    A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD.
    Serve para fatorar ou expandir expressões.
  • Absorção:
    A+(A\cdot B)=A,\qquad A\cdot(A+B)=A.
    Interpretação: se um termo é “mais geral” ele absorve o mais específico.
  • Teorema do consenso (útil para eliminar termos redundantes):
    AB + \bar{A}C + BC = AB + \bar{A}C.
    Ou seja, o termo BC é redundante quando já existem AB e \bar{A}C.
  • Como expandir XOR:
    A\oplus B = A\bar{B} + \bar{A}B.
    Vou usar essa expansão.
Vou aplicar essas leis passo a passo para simplificar \mathrm{F}.

Passo 3

Substituir as definições (expandir o XOR e interpretar \odot como AND).
  • Expandindo X\oplus W: X\oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W.
  • Interpretando W\odot Z = W\cdot Z.
Substituindo na expressão de \mathrm{F}:
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z + \bigl(X\bar{W}+\bar{X}W\bigr) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.

Passo 4

Agrupar termos semelhantes e aplicar absorção (explicando cada passo).
Escrevo os termos agrupados:
\mathrm{F} = \underbrace{\bar{X}Z}_{(1)} + \underbrace{\bar{X}W}_{(2)} + \underbrace{X\bar{W}}_{(3)} + \underbrace{X\bar{Y}}_{(4)} + \underbrace{WZ}_{(5)} + \underbrace{\bar{X}Y\bar{W}Z}_{(6)}.
  • Observe o termo \bar{X}Y\bar{W}Z (6). Ele contém \bar{X}Z como um fator (pois \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z\cdot(Y\bar{W})). Pela lei da absorção: \bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z.Logo o termo (6) é redundante e pode ser eliminado.
Depois de eliminar (6):
\mathrm{F} = \bar{X}Z + \bar{X}W + X\bar{W} + X\bar{Y} + WZ.

Passo 5

Fatorar e reorganizar para ver formas mais compactas (mostrar passo a passo).
  • Agrupo \bar{X}Z e WZ em um fator comum Z:
    \bar{X}Z + WZ = Z(\bar{X}+W).
  • Agrupo X\bar{W} e \bar{X}W: reconhece-se a forma do XOR (voltamos ao início):
    X\bar{W} + \bar{X}W = X\oplus W.
  • Sobram ainda X\bar{Y}.
Substituindo essas fatorações:
\mathrm{F} = (X\oplus W) + X\bar{Y} + Z(\bar{X}+W).
Explico por que essa forma é legítima:
  • Começamos com a forma expandida e só usamos absorção (para eliminar o termo com mais literais) e fatoração distributiva. Cada passo preserva a função booleana.

Passo 6

Verificar se algum termo é agora redundante (aplicar teoremas de redundância/consenso).
  • A expressão atual é
    \mathrm{F} = X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + Z(\bar{X}+W).
    (substituí X\oplus W pela sua soma de produtos para clareza).
  • Tentar aplicar consenso: para que um termo como Z(\bar{X}+W) fosse eliminado por consenso seria necessário que exista um par de termos do tipo A B e \bar{A} C cujo consenso é B C. Aqui não se encaixa um caso óbvio que torne Z(\bar{X}+W) redundante sem introduzir dependência de Y ou X. Um teste simples é procurar um contraexemplo booleano (atribuições de X,Y,Z,W) que torne um termo necessário: por exemplo, escolher X=1,Y=1,W=1,Z=1 \mathrm{F}=1 mesmo que alguns termos sejam zero — não há simplificação adicional geral sem perder equivalência.
Portanto a forma
\boxed{\mathrm{F} = (X\oplus W) + X\bar{Y} + Z(\bar{X}+W)}
é uma forma simplificada clara e fatorada, compacta e que ressalta as partes XOR, a contribuição de X\bar{Y} e o fator com Z.

Passo 7

Agora trato o item (b): analisar a igualdade
X Y+\bar{X} Z=(X+Y)(\bar{X}+Y).
  • Primeiro simplifico o lado direito. Expandindo o produto:
    (X+Y)(\bar{X}+Y) = X\bar{X} + XY + Y\bar{X} + Y Y.
    Pelo complemento X\bar{X}=0 e idempotência YY=Y, obtemos
    (X+Y)(\bar{X}+Y) = XY + \bar{X}Y + Y = Y + XY + \bar{X}Y.
    Mas XY + \bar{X}Y = Y(X+\bar{X}) = Y\cdot 1 = Y. Assim
    (X+Y)(\bar{X}+Y) = Y.
    Conclusão: o lado direito simplifica exatamente para Y.
  • Agora o lado esquerdo é XY + \bar{X}Z. Em geral esse termo não é igual a Y. Para ver isso basta um contraexemplo simples: escolha X=0,\;Y=0,\;Z=1.
    • Lado esquerdo: XY+\bar{X}Z = 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
    • Lado direito: (X+Y)(\bar{X}+Y) já vimos que é Y, então aqui é 0.
      Resultado: 1\neq 0. Logo a igualdade dada é falsa em geral.
  • Comentário adicional (didático): o lado direito sendo igual a Y é uma simplificação importante; se a igualdade fosse verdadeira, implicaria XY + \bar{X}Z = Y para todo X,Z — o que não ocorre, pois a presença do termo \bar{X}Z pode tornar o lado esquerdo 1 mesmo quando Y=0.

Resposta

\mathrm{(a)}\\ \displaystyle \mathrm{F}=(X\oplus W)+X\bar{Y}+Z(\bar{X}+W)\newline
\mathrm{(b)}\\ \text{Falso. }(X+Y)(\bar{X}+Y)=Y\text{, por exemplo }X=0,Y=0,Z=1\Rightarrow XY+\bar{X}Z=1\neq0.

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