Nos Exercicios de 1 a 22 são dados f(x), a e L, bem como lim x a f(x)=L. (a) Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 3, determine um de0 para o in d a d o, tal que
se 0<|x-a|ã
(b) Usando as propriedades das desigualdades, determine um de0, tal que a afirmativa (11) seja verdadeira para o valor dado de epsilon.
lim x 2(x^2-2 x+1)=1 ; epsilon=0,001

Passo 1

Estamos lidando com o limite de f(x)=x²–2x+1 quando x→2, sabendo que L=1 e queremos garantir |f(x)–1|<ε com ε=0,001.

Passo 2

Primeiro escrevemos a diferença a controlar:
|f(x) - 1| = |x^2 - 2x + 1 - 1| = |x^2 - 2x| = |x|,|x - 2|

Passo 3

Para aplicar o método ‘δ de safety’, escolhemos um valor provisório para restringir |x|. Por exemplo, se exigirmos |x - 2| < 1 (ou seja, δ ≤ 1), então x fica em (1, 3) e daí |x| < 3. Assim temos
|f(x) - 1| = |x|,|x - 2| < 3,|x - 2|

Passo 4

Agora basta garantir que 3|x–2| < ε, ou seja, |x–2| < ε/3. Para conciliar com a condição provisória |x–2|<1, escolhemos
δ = minl(1,,ε3r)

Passo 5

Por fim, substituindo ε=0,001 obtemos
δ = minl(1,,0,0013r) = 13000 approx 0,0003333
Assim, se 0<|x–2|<δ então |f(x)–1|<ε.

Resposta

Um valor que funciona é δ = min\bigl(1, ε/3\bigr), e para ε=0,001 temos δ = 1/3000.

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