Nos Exercicios de 1 a 22 são dados
, a e L, bem como
. (a) Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 3, determine um
para
, tal que
(b) Usando as propriedades das desigualdades, determine um
, tal que a afirmativa (11) seja verdadeira para o valor dado de
.
Passo 1
Estamos lidando com o limite de f(x)=x²–2x+1 quando x→2, sabendo que L=1 e queremos garantir |f(x)–1|<ε com ε=0,001.
Passo 2
Primeiro escrevemos a diferença a controlar:
Passo 3
Para aplicar o método ‘δ de safety’, escolhemos um valor provisório para restringir |x|. Por exemplo, se exigirmos |x - 2| < 1 (ou seja, δ ≤ 1), então x fica em (1, 3) e daí |x| < 3. Assim temos
Passo 4
Agora basta garantir que 3|x–2| < ε, ou seja, |x–2| < ε/3. Para conciliar com a condição provisória |x–2|<1, escolhemos
Passo 5
Por fim, substituindo ε=0,001 obtemos
Assim, se 0<|x–2|<δ então |f(x)–1|<ε.
Resposta
Um valor que funciona é δ = min\bigl(1, ε/3\bigr), e para ε=0,001 temos δ = 1/3000.