Nos Exercícios 23-25, sejam
Seja
.
(a) Calcule
, usando a regra do produto.
(b) Expanda o produto vetorial
e derive. Compare com o obtido na parte (a).
(a) Calcule
(b) Expanda o produto vetorial
Passo 1
O enunciado nos dá as funções vetoriais
e define
As perguntas são:
(a) Calcular usando a regra do produto (regra da derivada do produto vetorial).
(b) Expandir o produto vetorial , derivar componente a componente e comparar com o resultado da parte (a).
(a) Calcular
(b) Expandir o produto vetorial
Vou manter todas as quantidades simbólicas e devolver explicitamente
e
.
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (a fórmula e o que cada símbolo significa).
Se e
são vetores cujas componentes são funções de
, então a derivada do produto vetorial é dada por
Se
Aqui
e
são as derivadas vetoriais, definidas componente a componente. Isto é, derivar um vetor significa derivar cada componente separadamente.
Primeiro calculemos as derivadas de
e
:
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto vetorial:
Para calcular cada produto vetorial usaremos a fórmula componente a componente:
se e
, então
se
Calculemos
com
e
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 4
Agora calculemos
com
e
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo
Passo 5
Somando as duas parcelas obtemos
:
Somando componente a componente:
Portanto, pelo método do produto:
Passo 6
Agora (parte b) vamos expandir primeiro
e depois derivar componente a componente.
Usando a fórmula do produto vetorial com
e
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo a expansão é
Passo 7
Derivando
componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto a derivada obtida por derivar a expansão é
Comparando com o resultado obtido na parte (a) (regra do produto), os dois resultados coincidem componente a componente, como esperado pela validade da regra do produto vetorial.
Resposta
(a)
(b)
e