Nos Exercícios 23-25, sejam
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2}, t^{3}, 4 t\right\rangle, \quad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1}, 1+t, 2\right\rangle
Seja G(t)=\mathbf{r}_{1}(t) \times \mathbf{r}_{2}(t).
(a) Calcule G^{\prime}(t), usando a regra do produto.
(b) Expanda o produto vetorial \mathbf{r}_{1}(t) \times \mathbf{r}_{2}(t) e derive. Compare com o obtido na parte (a).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2},\,t^{3},\,4t\right\rangle,\qquad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1},\,1+t,\,2\right\rangle
e define
G(t)=\mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}(t).
As perguntas são:
(a) Calcular G'(t) usando a regra do produto (regra da derivada do produto vetorial).
(b) Expandir o produto vetorial \mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}(t), derivar componente a componente e comparar com o resultado da parte (a).
Vou manter todas as quantidades simbólicas e devolver explicitamente G(t) e G'(t).

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (a fórmula e o que cada símbolo significa).
Se u(t) e v(t) são vetores cujas componentes são funções de t, então a derivada do produto vetorial é dada por
\bigl(u(t)\times v(t)\bigr)' = u'(t)\times v(t) + u(t)\times v'(t).
Aqui u'(t) e v'(t) são as derivadas vetoriais, definidas componente a componente. Isto é, derivar um vetor significa derivar cada componente separadamente.
Primeiro calculemos as derivadas de \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2:
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2},\,t^{3},\,4t\right\rangle \quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}_{1}'(t)=\left\langle 2t,\,3t^{2},\,4\right\rangle,
\mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1},\,1+t,\,2\right\rangle \quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}_{2}'(t)=\left\langle -t^{-2},\,1,\,0\right\rangle.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto vetorial:
G'(t)=\mathbf{r}_{1}'(t)\times\mathbf{r}_{2}(t)+\mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}'(t).
Para calcular cada produto vetorial usaremos a fórmula componente a componente:
se u=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e v=\langle v_1,v_2,v_3\rangle, então
u\times v=\big\langle u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\big\rangle.
Calculemos \mathbf{r}_{1}'(t)\times\mathbf{r}_{2}(t) com \mathbf{r}_1'=\langle 2t,3t^2,4\rangle e \mathbf{r}_2=\langle t^{-1},1+t,2\rangle.
Primeira componente:
3t^{2}\cdot 2 - 4\cdot(1+t) = 6t^{2} -4 -4t.
Segunda componente:
4\cdot t^{-1} - 2t\cdot 2 = 4t^{-1} -4t.
Terceira componente:
2t\cdot(1+t) - 3t^{2}\cdot t^{-1} = 2t +2t^{2} -3t = 2t^{2}-t.
Portanto
\mathbf{r}_{1}'(t)\times\mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle 6t^{2}-4t-4,\; -4t+4t^{-1},\;2t^{2}-t\right\rangle.

Passo 4

Agora calculemos \mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}'(t) com \mathbf{r}_1=\langle t^2,t^3,4t\rangle e \mathbf{r}_2'=\langle -t^{-2},1,0\rangle.
Primeira componente:
t^{3}\cdot 0 - 4t\cdot 1 = -4t.
Segunda componente:
4t\cdot(-t^{-2}) - t^{2}\cdot 0 = -4t^{-1}.
Terceira componente:
t^{2}\cdot 1 - t^{3}\cdot(-t^{-2}) = t^{2} + t.
Logo
\mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}'(t)=\left\langle -4t,\; -4t^{-1},\; t^{2}+t\right\rangle.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtemos G'(t):
G'(t)=\mathbf{r}_{1}'\times\mathbf{r}_{2}+\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2}'.
Somando componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª comp. }&: (6t^{2}-4t-4)+(-4t)=6t^{2}-8t-4,\\\ \text{2ª comp. }&: (-4t+4t^{-1})+(-4t^{-1})=-4t,\\\ \text{3ª comp. }&: (2t^{2}-t)+(t^{2}+t)=3t^{2}. \end{aligned}ªªª
Portanto, pelo método do produto:
G'(t)=\left\langle 6t^{2}-8t-4,\; -4t,\; 3t^{2}\right\rangle.

Passo 6

Agora (parte b) vamos expandir primeiro G(t)=\mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}(t) e depois derivar componente a componente.
Usando a fórmula do produto vetorial com \mathbf{r}_1=\langle t^2,t^3,4t\rangle e \mathbf{r}_2=\langle t^{-1},1+t,2\rangle:
Primeira componente:
t^{3}\cdot 2 - 4t\cdot(1+t) = 2t^{3} -4t^{2} -4t.
Segunda componente:
4t\cdot t^{-1} - t^{2}\cdot 2 = 4 -2t^{2}.
Terceira componente:
t^{2}\cdot(1+t) - t^{3}\cdot t^{-1} = t^{2}+t^{3}-t^{2}=t^{3}.
Logo a expansão é
G(t)=\mathbf{r}_{1}(t)\times\mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle 2t^{3}-4t^{2}-4t,\; 4-2t^{2},\; t^{3}\right\rangle.

Passo 7

Derivando G(t) componente a componente:
Primeira componente:
\frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}-4t^{2}-4t\bigr)=6t^{2}-8t-4.
Segunda componente:
\frac{d}{dt}\bigl(4-2t^{2}\bigr)=-4t.
Terceira componente:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
Portanto a derivada obtida por derivar a expansão é
G'(t)=\left\langle 6t^{2}-8t-4,\; -4t,\; 3t^{2}\right\rangle.
Comparando com o resultado obtido na parte (a) (regra do produto), os dois resultados coincidem componente a componente, como esperado pela validade da regra do produto vetorial.

Resposta

(a) G'(t)=\left\langle 6t^{2}-8t-4,\; -4t,\; 3t^{2}\right\rangle
(b) G(t)=\left\langle 2t^{3}-4t^{2}-4t,\; 4-2t^{2},\; t^{3}\right\rangle e \;G'(t)=\left\langle 6t^{2}-8t-4,\; -4t,\; 3t^{2}\right\rangle

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