e pede a taxa de variação do ângulo \theta entre \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) em t=0 (unidade: segundos).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
As componentes de \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) para t em torno de 0.
Note que \mathbf{r}_{1}(0)=\langle 0,0,0\rangle é o vetor nulo.
Note que \mathbf{r}_{2}(t) tem a componente t^{-1}, logo \mathbf{r}_{2}(t) não está definida em t=0 (tende a \pm\infty quando t\to0).
O que o enunciado pede concretamente:
Calcular \dfrac{d\theta}{dt} avaliado em t=0, ou seja \left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0}.
Passo 2
Observação importante sobre existência de \theta em t=0 e nossa estratégia:
O ângulo entre dois vetores é definido quando ambos os vetores são não nulos e finitos. Aqui \mathbf{r}_{1}(0) é o vetor nulo e \mathbf{r}_{2}(0) nem é definido, então o ângulo \theta(0) não está definido diretamente.
Porém, podemos estudar o comportamento de \theta(t) para t\neq0 e verificar se \theta(t) tem um limite quando t\to0 e se a derivada \theta'(t) tem limite quando t\to0. Se ambos os limites existirem e forem compatíveis, podemos concluir o valor da taxa de variação "em t=0" no sentido do limite.
Portanto, vamos trabalhar com a expressão que relaciona \theta aos vetores quando eles são não nulos:
\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) é o produto escalar dos vetores.
\|\mathbf{r}_{i}(t)\| é a norma (módulo) do vetor \mathbf{r}_{i}(t).
Para t\neq0 essa fórmula vale normalmente e define \theta(t)=\operatorname{arccos}(\cdot).
Passo 3
Plano para calcular \left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0}:
Seja u(t)=\cos\theta(t)=\dfrac{\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{r}_{2}}{\|\mathbf{r}_{1}\|\|\mathbf{r}_{2}\|} (todas dependências em t omitidas para suavizar a notação).
Como \theta(t)=\operatorname{arccos}(u(t)), pela regra da cadeia:
(Observação intuitiva: para t muito pequeno o termo dominante de \mathbf{r}_{1} é 4t na componente z, enquanto \mathbf{r}_{2} tem componente 1/t na direção x; o produto escalar é proporcional a t e o produto das normas tende a uma constante, levando a u(t) proporcional a t.)]
Unidade: \theta está em radianos, t em segundos, então a taxa é em rad/s.
Interpretação final e nota sobre definição em t=0:
Embora \theta(0) não seja originalmente definido porque \mathbf{r}_{1}(0) é o vetor nulo e \mathbf{r}_{2}(0) não existe, a função \theta(t) para t\neq0 tende a \pi/2 quando t\to0 e sua derivada por limite existe e vale -9/4. Assim faz sentido reportar a taxa de variação em t=0 no sentido do limite.