Nos Exercícios 23-25, sejam
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2}, t^{3}, 4 t\right\rangle, \quad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1}, 1+t, 2\right\rangle
Encontre a taxa de variação do ângulo \theta entre \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) em t=0, supondo que t seja medido em segundos.

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas vetoriais (funções vetoriais de t):
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle t^{2},\, t^{3},\, 4 t\right\rangle,\qquad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle t^{-1},\, 1+t,\, 2\right\rangle
e pede a taxa de variação do ângulo \theta entre \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) em t=0 (unidade: segundos).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As componentes de \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) para t em torno de 0.
  • Note que \mathbf{r}_{1}(0)=\langle 0,0,0\rangle é o vetor nulo.
  • Note que \mathbf{r}_{2}(t) tem a componente t^{-1}, logo \mathbf{r}_{2}(t) não está definida em t=0 (tende a \pm\infty quando t\to0).
O que o enunciado pede concretamente:
  • Calcular \dfrac{d\theta}{dt} avaliado em t=0, ou seja \left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0}.

Passo 2

Observação importante sobre existência de \theta em t=0 e nossa estratégia:
  • O ângulo entre dois vetores é definido quando ambos os vetores são não nulos e finitos. Aqui \mathbf{r}_{1}(0) é o vetor nulo e \mathbf{r}_{2}(0) nem é definido, então o ângulo \theta(0) não está definido diretamente.
  • Porém, podemos estudar o comportamento de \theta(t) para t\neq0 e verificar se \theta(t) tem um limite quando t\to0 e se a derivada \theta'(t) tem limite quando t\to0. Se ambos os limites existirem e forem compatíveis, podemos concluir o valor da taxa de variação "em t=0" no sentido do limite.
  • Portanto, vamos trabalhar com a expressão que relaciona \theta aos vetores quando eles são não nulos:
\cos\theta(t)=\dfrac{\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t)}{\|\mathbf{r}_{1}(t)\|\,\|\mathbf{r}_{2}(t)\|}.
Aqui:
  • \mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) é o produto escalar dos vetores.
  • \|\mathbf{r}_{i}(t)\| é a norma (módulo) do vetor \mathbf{r}_{i}(t).
  • Para t\neq0 essa fórmula vale normalmente e define \theta(t)=\operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 3

Plano para calcular \left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0}:
  • Seja u(t)=\cos\theta(t)=\dfrac{\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{r}_{2}}{\|\mathbf{r}_{1}\|\|\mathbf{r}_{2}\|} (todas dependências em t omitidas para suavizar a notação).
  • Como \theta(t)=\operatorname{arccos}(u(t)), pela regra da cadeia:
\dfrac{d\theta}{dt} = -\dfrac{1}{\sqrt{1-u(t)^{2}}}\,u'(t).
  • Se u(0)=\lim_{t\to0}u(t) e u'(0)=\lim_{t\to0}u'(t) existirem, então
\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0} = -\dfrac{u'(0)}{\sqrt{1-u(0)^{2}}}.
  • Logo precisamos (i) obter a expansão de u(t) para t pequeno e (ii) extrair u(0) e u'(0).

Passo 4

Calcular o numerador N(t)=\mathbf{r}_{1}(t)\cdot\mathbf{r}_{2}(t) e as normas, e obter a expansão para t pequeno.
Primeiro o produto escalar:
\begin{aligned} N(t) &= t^{2}\cdot t^{-1} + t^{3}\cdot(1+t) + 4t\cdot 2\\[4pt] &= t + t^{3} + t^{4} + 8t\\[4pt] &= 9t + t^{3} + t^{4}. \end{aligned}
Agora a norma de \mathbf{r}_{1}(t):
\|\mathbf{r}_{1}(t)\|=\sqrt{t^{4}+t^{6}+16t^{2}} =|t|\sqrt{t^{2}+t^{4}+16}.
Para t pequeno temos a expansão (usando \sqrt{16+t^{2}+\cdots}=4+O(t^{2})):
\|\mathbf{r}_{1}(t)\|=4|t|+O(|t|^{3}).
A norma de \mathbf{r}_{2}(t):
\|\mathbf{r}_{2}(t)\|=\sqrt{\dfrac{1}{t^{2}}+(1+t)^{2}+4} =\sqrt{\dfrac{1}{t^{2}}+5+2t+t^{2}}.
Fatorando 1/t^{2} e expandindo para t pequeno:
\|\mathbf{r}_{2}(t)\|=\dfrac{1}{|t|}\sqrt{1+(5+2t+t^{2})t^{2}} =\dfrac{1}{|t|}\Big(1+O(t^{2})\Big).
Multiplicando as normas:
\|\mathbf{r}_{1}(t)\|\,\|\mathbf{r}_{2}(t)\| =\big(4|t|+O(|t|^{3})\big)\cdot\big(\dfrac{1}{|t|}+O(|t|)\big) =4+O(t^{2}).
Agora a razão u(t)=\dfrac{N(t)}{\|\mathbf{r}_{1}(t)\|\,\|\mathbf{r}_{2}(t)\|}.
Usando as expansões obtidas:
u(t)=\dfrac{9t + t^{3} + t^{4}}{4+O(t^{2})}.
Dividindo em série:
u(t)=\dfrac{9}{4}\,t + O(t^{3}).
Portanto:
  • \displaystyle u(0)=\lim_{t\to0}u(t)=0. Isso mostra que \theta(t)\to\operatorname{arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2} quando t\to0.
  • \displaystyle u'(0)=\lim_{t\to0}\dfrac{u(t)-u(0)}{t}=\dfrac{9}{4}.
(Observação intuitiva: para t muito pequeno o termo dominante de \mathbf{r}_{1} é 4t na componente z, enquanto \mathbf{r}_{2} tem componente 1/t na direção x; o produto escalar é proporcional a t e o produto das normas tende a uma constante, levando a u(t) proporcional a t.)]

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada de \theta:
\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0} = -\dfrac{u'(0)}{\sqrt{1-u(0)^{2}}}.
Substituindo u(0)=0 e u'(0)=\dfrac{9}{4}:
\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=0} = -\dfrac{9/4}{\sqrt{1-0^{2}}} = -\dfrac{9}{4}.
Unidade: \theta está em radianos, t em segundos, então a taxa é em rad/s.
Interpretação final e nota sobre definição em t=0:
  • Embora \theta(0) não seja originalmente definido porque \mathbf{r}_{1}(0) é o vetor nulo e \mathbf{r}_{2}(0) não existe, a função \theta(t) para t\neq0 tende a \pi/2 quando t\to0 e sua derivada por limite existe e vale -9/4. Assim faz sentido reportar a taxa de variação em t=0 no sentido do limite.

Resposta

-\dfrac{9}{4}\\ \text{rad/s}

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