Nos Exercícios
, calcule
usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções vetoriais e pede a derivada da composição:
-
. -
.
O que é pedido: calcular. Ou seja, compor com e depois derivar em relação a .
Passo 2
Escrevendo explicitamente a composição
(substituir
por
nas componentes de
):
Aqui cada componente é uma função escalar de
: a primeira é
, a segunda é
e a terceira é a constante
.
Passo 3
Regra da cadeia para funções vetoriais (explicação didática): se
é função vetorial de uma variável escalar
e
é função escalar de
, então
onde
é a derivada componente a componente de
em relação a
, e
é a derivada escalar de
. Na prática isso significa multiplicar cada componente derivada de
(avaliada em
) por
. É a versão vetorial da regra da cadeia comum.
Passo 4
Calcular a derivada de
em termos de uma variável genérica
(ou seja,
):
Derivando componente a componente em relação a
:
-
. -
(pela regra da cadeia simples: derivada do expoente é ). -
(derivada de constante).
Portanto
Passo 5
Calcular a derivada de
:
Isto é direto: a derivada de
é
e de
é
.
Passo 6
Agora aplicar a fórmula da regra da cadeia: avaliar
em
e multiplicar por
.
Avaliação em :
Avaliação em
Simplificar o expoente da segunda componente:
. Então
Multiplicando cada componente por
: