Nos Exercícios 26-29, calcule \frac{d}{d t} \mathbf{r}(g(t)) usando a regra da cadeia.
\mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}, e^{2 t}, 4\right\rangle, \quad g(t)=4 t+9

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais e pede a derivada da composição:
  • \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t},\, e^{2t},\, 4\right\rangle.
  • g(t)=4t+9.
    O que é pedido: calcular \dfrac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t)). Ou seja, compor \mathbf{r} com g e depois derivar em relação a t.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a composição \mathbf{r}(g(t)) (substituir t por g(t) nas componentes de \mathbf{r}):
\mathbf{r}(g(t))=\left\langle e^{\,g(t)},\, e^{2\,g(t)},\, 4\right\rangle.
Aqui cada componente é uma função escalar de t: a primeira é e^{g(t)}, a segunda é e^{2g(t)} e a terceira é a constante 4.

Passo 3

Regra da cadeia para funções vetoriais (explicação didática): se \mathbf{r} é função vetorial de uma variável escalar s e g é função escalar de t, então
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\mathbf{r}'(g(t))\cdot g'(t),
onde \mathbf{r}'(s) é a derivada componente a componente de \mathbf{r} em relação a s, e g'(t) é a derivada escalar de g. Na prática isso significa multiplicar cada componente derivada de \mathbf{r} (avaliada em s=g(t)) por g'(t). É a versão vetorial da regra da cadeia comum.

Passo 4

Calcular a derivada de \mathbf{r} em termos de uma variável genérica s (ou seja, \mathbf{r}'(s)):
\mathbf{r}(s)=\left\langle e^{s},\, e^{2s},\, 4\right\rangle.
Derivando componente a componente em relação a s:
  • \dfrac{d}{ds}e^{s}=e^{s}.
  • \dfrac{d}{ds}e^{2s}=2e^{2s} (pela regra da cadeia simples: derivada do expoente 2s é 2).
  • \dfrac{d}{ds}4=0 (derivada de constante).
    Portanto
\mathbf{r}'(s)=\left\langle e^{s},\, 2e^{2s},\, 0\right\rangle.

Passo 5

Calcular a derivada de g(t):
g(t)=4t+9 \quad\Rightarrow\quad g'(t)=4.
Isto é direto: a derivada de 4t é 4 e de 9 é 0.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula da regra da cadeia: avaliar \mathbf{r}'(s) em s=g(t) e multiplicar por g'(t).
Avaliação em s=g(t)=4t+9:
\mathbf{r}'(g(t))=\left\langle e^{4t+9},\, 2e^{2(4t+9)},\, 0\right\rangle.
Simplificar o expoente da segunda componente: 2(4t+9)=8t+18. Então
\mathbf{r}'(g(t))=\left\langle e^{4t+9},\, 2e^{8t+18},\, 0\right\rangle.
Multiplicando cada componente por g'(t)=4:
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=4\cdot\left\langle e^{4t+9},\, 2e^{8t+18},\, 0\right\rangle=\left\langle 4e^{4t+9},\, 8e^{8t+18},\, 0\right\rangle.

Resposta

\left\langle 4e^{4t+9},\, 8e^{8t+18},\, 0\right\rangle

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