Dada função vetorial P(t)=(t \cos t, t \operatorname{sen} t), para 0 \leq t \leq 4 \pi. A imagem de P(t) é uma curva? Faça um esboço da imagem.
Escreva a equação cartesiana (F(x, y)=0 ) que representa a função vetorial P(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
P(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr) = \bigl(t\cos t,\;t\operatorname{sen} t\bigr),
para 0\le t\le4\pi. Precisamos verificar se a imagem de P é uma curva no plano, fazer um esboço desse lugar geométrico e, por fim, encontrar uma equação cartesiana
F(x,y)=0
que o descreva.

Passo 2

Para ver a imagem como curva no plano, note que podemos interpretar \bigl(x(t),y(t)\bigr) em coordenadas polares, onde
r(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2} \quad\text{e}\quad \theta(t)=\arg\bigl(x(t),y(t)\bigr).
Como
x(t)^2+y(t)^2 = t^2\cos^2t + t^2\operatorname{sen}^2t = t^2,
segue-se
r(t)=t.
E, pela definição usual de coordenada polar, \theta(t)=t (desde que se escolha a mesma orientação).

Passo 3

Concluímos que a imagem é a espiral de Arquimedes r=\theta, com \theta variando de 0 até 4\pi. Portanto, é de fato uma curva que dá duas voltas em torno da origem, saindo do ponto (0,0) em t=0 e “espiralando” para fora até t=4\pi.

Passo 4

Esboço da imagem (duas voltas da espiral, raio crescendo conforme t):
• Começa em (0,0).
• A medida que t cresce de 0 a 2\pi completa uma volta, chegando a raio 2\pi.
• De 2\pi a 4\pi faz a segunda volta, chegando a raio 4\pi.
(Imagine uma espiral com raios 0\to2\pi\to4\pi, cada volta separada por um espaço constante.)

Passo 5

Para eliminar o parâmetro t e obter F(x,y)=0, usemos
r=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta=\atan2(y,x).
Como r=t e \theta=t, temos implicitamente
\sqrt{x^2+y^2} \;=\;\atan2(y,x).
Logo uma forma de escrever F(x,y)=0 é
F(x,y) \;=\;\sqrt{x^2+y^2}\;-\;\atan2(y,x).

Resposta

A imagem é a espiral de Arquimedes r=\theta, 0\le\theta\le4\pi, que dá duas voltas ao redor da origem. O esboço mostra uma espiral de raio crescente uniformemente.
Uma equação cartesiana implícita é
F(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}-\atan2(y,x)=0.

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