Dada função vetorial
, para
. A imagem de
é uma curva? Faça um esboço da imagem.
Escreva a equação cartesiana
) que representa a função vetorial
Escreva a equação cartesiana
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
para
. Precisamos verificar se a imagem de
é uma curva no plano, fazer um esboço desse lugar geométrico e, por fim, encontrar uma equação cartesiana
que o descreva.
Passo 2
Para ver a imagem como curva no plano, note que podemos interpretar
em coordenadas polares, onde
Como
segue-se
E, pela definição usual de coordenada polar,
(desde que se escolha a mesma orientação).
Passo 3
Concluímos que a imagem é a espiral de Arquimedes
com
variando de
até
. Portanto, é de fato uma curva que dá duas voltas em torno da origem, saindo do ponto
em
e “espiralando” para fora até
.
Passo 4
Esboço da imagem (duas voltas da espiral, raio crescendo conforme
):
• Começa em
.
• A medida que cresce de
a
completa uma volta, chegando a raio
.
• De a
faz a segunda volta, chegando a raio
.
• A medida que
• De
(Imagine uma espiral com raios
, cada volta separada por um espaço constante.)
Passo 5
Para eliminar o parâmetro
e obter
, usemos
Como
e
, temos implicitamente
Logo uma forma de escrever
é
Resposta
A imagem é a espiral de Arquimedes
,
, que dá duas voltas ao redor da origem. O esboço mostra uma espiral de raio crescente uniformemente.
Uma equação cartesiana implícita é
Uma equação cartesiana implícita é